Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Геометрия ( Справочник )
Стереометрия ( Справочник )
Математика ( Справочник )
Русский язык ( Справочник )
Физика ( Справочник )


Геометрия:

Введение в геометрию

Отрезок, луч, угол
   Отрезок
   Луч и полуплоскость
   Угол
   Измерение отрезков
   Измерение углов
   Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Треугольники
   Треугольник и его элементы
   Признаки равенства треугольников
   Свойства равнобедренного треугольника. Третий признак равенства треугольников.

Основные геометрические построения
   Окружность
   Основные задачи на построение

Параллельные прямые
   Определение параллельных прямых
   Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых

Сумма углов треугольника
   Теорема о сумме углов треугольника
   Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника
   Расстояние от точки до прямой
   Признаки равенства прямоугольных треугольников

Четырехугольники
   Определение четырехугольника
   Параллелограмм. Расстояние между параллельными прямыми
   Диагонали и признаки параллелограмма
   Прямоугольник
   Ромб
   Квадрат
   Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
   Трапеция
   Центральная и осевая симметрии
   Пропорциональные отрезки

Тригонометрические функции острого угла. Теорема Пифагора
   Тригонометрические функции острого угла. Определения
   Теорема Пифагора
   Основные тригонометрические тождества
   Значения тригонометрических функций некоторых углов
   Зависимости между сторонами и углами прямоугольного треугольника
   Решение прямоугольных треугольников

Прямоугольные координаты
   Координатная ось
   Прямоугольная система координат на плоскости
   Расстояние между точками
   Координаты середины отрезка
   Определение тригонометрических функций для любого угла от 0 до 180°

Векторы
   Понятие вектора
   Сложение и вычитание векторов
   Умножение вектора на число
   Координаты вектора
   Скалярное произведение векторов

Подобие
   Определение подобных треугольников
   Признаки подобия треугольников
   Подобие произвольных фигур

Окружность
   Касательная к окружности
   Центральные и вписанные углы
   Вписанная и описанная окружности
   Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

Решение треугольников
   Теорема синусов и теорема косинусов
   Решение треугольников

Многоугольники. Длина окружности
   Ломаная
   Многоугольник
   Правильный многоугольник
   Длина окружности
   Длина дуги окружности. Радианная мера угла

Площади плоских фигур
   Понятие площади
   Площадь прямоугольника
   Площадь параллелограмма
   Площадь треугольника и ромба
   Площадь трапеции
   Площадь правильного многоугольника
   Площадь круга и кругового сектора


Контакты

subjects:geometry:значения_тригоном._ф._некоторых_углов

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Теорема 1. Для любого острого угла α $$ \bf{ \sin (90° - \alpha) = \cos \alpha \\ \cos (90° - \alpha) = \sin \alpha } $$

Доказательство. Пусть ABC — прямоугольный треугольник с острым углом α при вершине А (см. рис.1).

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Рис.1

Тогда острый угол при вершине В равен 90° - α. Согласно определению $$ \sin (90° - \alpha ) = \frac{AC}{AB} \\ \cos (90° - \alpha) = \frac{BC}{AB} $$ или , с учетом формул (1) и (2), $$ \sin (90° - \alpha) = \cos \alpha \\ \cos (90° - \alpha) = \sin \alpha $$ Теорема доказана.


Обучение по геометрии

Пример 1. Найти значения sin 45°, cos 45° и tg 45°.

Решение. Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник (рис.2).

Равнобедренный прямоугольный треугольник
Равнобедренный прямоугольный треугольник

Рис.2

В нем каждый острый угол равен 45°. Пусть его катеты равны а. По теореме Пифагора его гипотенуза равна $ a\sqrt{2} $. Теперь по определению имеем: $$ \sin 45° = \frac{a}{a \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \cos 45° = \frac{a}{a \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ {\rm tg}\, 45° = \frac{a}{a} = 1 $$


Пример 2. Найти значения sin 30°, cos 30° и tg 30°.

Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого один из острых углов равен 30° (рис.3).

Прямоугольный треугольник с углом 30°
Прямоугольный треугольник с углом 30°

Рис.3

Пусть его гипотенуза равна с. Так как катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы (пример 3) и, значит (с учетом примера 1) $$ \cos 30° = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ {\rm tg}\, 30° = \frac{ \sqrt{3} }{3} $$


Пример 3. Найти значения sin 60° и tg 60°.

Решение. Согласно установленной выше теореме имеем: $$ \sin 60° = \sin (90° - 30°) = \cos 30° = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \cos 60° = \cos (90° - 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2} $$ Отсюда $$ {\rm tg}\, 60° = \frac{ \sin 60° }{ \cos 60° } = \frac{ \sqrt{3} \bullet 2 }{ 2 \bullet 1 } = \sqrt{3} $$


Обучение по геометрии

subjects/geometry/значения_тригоном._ф._некоторых_углов.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:05 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору





закрыть[X]
Наши контакты