Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Геометрия ( Справочник )
Стереометрия ( Справочник )
Математика ( Справочник )
Русский язык ( Справочник )
Физика ( Справочник )


Геометрия:

Введение в геометрию

Отрезок, луч, угол
   Отрезок
   Луч и полуплоскость
   Угол
   Измерение отрезков
   Измерение углов
   Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Треугольники
   Треугольник и его элементы
   Признаки равенства треугольников
   Свойства равнобедренного треугольника. Третий признак равенства треугольников.

Основные геометрические построения
   Окружность
   Основные задачи на построение

Параллельные прямые
   Определение параллельных прямых
   Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых

Сумма углов треугольника
   Теорема о сумме углов треугольника
   Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника
   Расстояние от точки до прямой
   Признаки равенства прямоугольных треугольников

Четырехугольники
   Определение четырехугольника
   Параллелограмм. Расстояние между параллельными прямыми
   Диагонали и признаки параллелограмма
   Прямоугольник
   Ромб
   Квадрат
   Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
   Трапеция
   Центральная и осевая симметрии
   Пропорциональные отрезки

Тригонометрические функции острого угла. Теорема Пифагора
   Тригонометрические функции острого угла. Определения
   Теорема Пифагора
   Основные тригонометрические тождества
   Значения тригонометрических функций некоторых углов
   Зависимости между сторонами и углами прямоугольного треугольника
   Решение прямоугольных треугольников

Прямоугольные координаты
   Координатная ось
   Прямоугольная система координат на плоскости
   Расстояние между точками
   Координаты середины отрезка
   Определение тригонометрических функций для любого угла от 0 до 180°

Векторы
   Понятие вектора
   Сложение и вычитание векторов
   Умножение вектора на число
   Координаты вектора
   Скалярное произведение векторов

Подобие
   Определение подобных треугольников
   Признаки подобия треугольников
   Подобие произвольных фигур

Окружность
   Касательная к окружности
   Центральные и вписанные углы
   Вписанная и описанная окружности
   Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

Решение треугольников
   Теорема синусов и теорема косинусов
   Решение треугольников

Многоугольники. Длина окружности
   Ломаная
   Многоугольник
   Правильный многоугольник
   Длина окружности
   Длина дуги окружности. Радианная мера угла

Площади плоских фигур
   Понятие площади
   Площадь прямоугольника
   Площадь параллелограмма
   Площадь треугольника и ромба
   Площадь трапеции
   Площадь правильного многоугольника
   Площадь круга и кругового сектора


Контакты

subjects:geometry:решение_треугольников

Будем обозначать стороны треугольника через $a, b, c$, a противолежащие им углы через $\alpha, \beta, \gamma$.

Решение треугольников

Решение треугольников состоит в нахождении неизвестных сторон и углов треугольника по известным его углам и сторонам.


Обучение по геометрии

Пример 1. В треугольнике даны сторона $\alpha = 5$ и два угла $\beta = 30°\,; \gamma = 45°$ . Найти третий угол и остальные две стороны.

Решение. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то третий угол $\alpha$ находим: $$ \alpha = 180° - \beta - \gamma = 180° - 30° - 45° = 105° $$ Зная сторону и все три угла, по теореме синусов находим две остальные стороны: $$ b = a \bullet \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} = 5 \bullet \frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 105^{\circ}} \approx 5 \bullet \frac{0,500}{0,966} \approx 2,59 \\ c = a \bullet \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha} = 5 \bullet \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 105^{\circ}} \approx 5 \bullet \frac{0,707}{0,966} \approx 3,66 $$


Пример 2. В треугольнике даны две стороны а = 12, b = 8 и угол между ними $\gamma = 60°$. Найти остальные два угла и третью сторону.

Решение. Третью сторону находим по теореме косинусов $$ c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\bullet \cos \gamma} = \sqrt{144 + 64 - 2 \bullet 12 \bullet 8 \bullet 0,500 } = \sqrt{112} \approx 10,6 $$ Теперь, имея три стороны, по теореме косинусов находим косинус одного из неизвестных углов, например $\cos \alpha$ и сам угол $\alpha$ и, значит, угол $\beta$ : $$ \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx 0,189 \\ \text{откуда } \alpha \approx 79°\,; \\ \beta = 180° - \alpha - \gamma \approx 180° - 79° - 60° = 41° $$


Пример 3. В треугольнике даны две стороны a = 6, b = 8 и угол $\alpha = 30°$. Найти остальные два угла и третью сторону.

Решение. По теореме синусов имеем: $$ \sin \beta = \frac{b}{a} • \sin \alpha = \frac{8}{6} • \sin 30° = \frac{8}{6} • \frac{1}{2} \approx 0,667 $$

Этому значению синуса соответствуют два угла: $\beta _1 \approx 42°\text{ и }\beta _2 \approx 138°$ .

Рассмотрим сначала угол $\beta _1 = 42°$ . По нему находим третий угол $ \gamma _1 = 180° - \alpha - \beta \approx 108°$ и по теореме синусов третью сторону: $$ c = \frac{a \sin \gamma _1}{\sin \alpha} \approx 6 \bullet \frac{\sin 108^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} \approx 6 \bullet \frac{0,951}{0,500} \approx 11,4 $$ Аналогично по углу $ \beta _2 \approx 138°$ находим $\gamma _2 \approx 12°\text{ и }c_2 \approx 2,49$ .

Примечание. Видим, что эта задача в отличие от предыдущих имеет два решения. При других числовых данных, например при $\alpha \geqslant 90°$ , задача может иметь лишь одно решение или вовсе не иметь.


Пример 4. Даны три стороны треугольника: a = 2, b = 3, c = 4. Найти его углы.

Решение. Углы находятся по теореме косинусов: $$ \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{7}{8} = 0,875 $$ , откуда $\alpha \approx 29°$ .

Аналогично находится $\cos \beta = 0,688$ , откуда $\beta \approx 47°\text{ и }\gamma \approx 180° - 47° - 29° = 104°$ .


Обучение по геометрии

subjects/geometry/решение_треугольников.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:19 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору





закрыть[X]
Наши контакты