Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Геометрия ( Справочник )
Стереометрия ( Справочник )
Математика ( Справочник )
Русский язык ( Справочник )
Физика ( Справочник )


Геометрия:

Введение в геометрию

Отрезок, луч, угол
   Отрезок
   Луч и полуплоскость
   Угол
   Измерение отрезков
   Измерение углов
   Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Треугольники
   Треугольник и его элементы
   Признаки равенства треугольников
   Свойства равнобедренного треугольника. Третий признак равенства треугольников.

Основные геометрические построения
   Окружность
   Основные задачи на построение

Параллельные прямые
   Определение параллельных прямых
   Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых

Сумма углов треугольника
   Теорема о сумме углов треугольника
   Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника
   Расстояние от точки до прямой
   Признаки равенства прямоугольных треугольников

Четырехугольники
   Определение четырехугольника
   Параллелограмм. Расстояние между параллельными прямыми
   Диагонали и признаки параллелограмма
   Прямоугольник
   Ромб
   Квадрат
   Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
   Трапеция
   Центральная и осевая симметрии
   Пропорциональные отрезки

Тригонометрические функции острого угла. Теорема Пифагора
   Тригонометрические функции острого угла. Определения
   Теорема Пифагора
   Основные тригонометрические тождества
   Значения тригонометрических функций некоторых углов
   Зависимости между сторонами и углами прямоугольного треугольника
   Решение прямоугольных треугольников

Прямоугольные координаты
   Координатная ось
   Прямоугольная система координат на плоскости
   Расстояние между точками
   Координаты середины отрезка
   Определение тригонометрических функций для любого угла от 0 до 180°

Векторы
   Понятие вектора
   Сложение и вычитание векторов
   Умножение вектора на число
   Координаты вектора
   Скалярное произведение векторов

Подобие
   Определение подобных треугольников
   Признаки подобия треугольников
   Подобие произвольных фигур

Окружность
   Касательная к окружности
   Центральные и вписанные углы
   Вписанная и описанная окружности
   Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

Решение треугольников
   Теорема синусов и теорема косинусов
   Решение треугольников

Многоугольники. Длина окружности
   Ломаная
   Многоугольник
   Правильный многоугольник
   Длина окружности
   Длина дуги окружности. Радианная мера угла

Площади плоских фигур
   Понятие площади
   Площадь прямоугольника
   Площадь параллелограмма
   Площадь треугольника и ромба
   Площадь трапеции
   Площадь правильного многоугольника
   Площадь круга и кругового сектора


Контакты

subjects:geometry:площадь_круга_и_кругового_сектора

Площадь круга и кругового сектора

Кругом называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше данного (рис.1).

Площадь круга

Рис.1

Эта точка называется центром круга, а данное расстояние — радиусом круга. Границей круга является окружность с тем же центром и радиусом.

Из наглядных соображений будем считать, что площадь круга сколь угодно мало отличается от площади вписанного в нее выпуклого многоугольника с достаточно малыми сторонами.

Пусть R — радиус круга, а C — длина его окружности. Впишем в окружность правильный n-угольник с достаточно большим числом сторон n. Площадь этого n-угольника $$ S_n = \frac{1}{2}Pr $$ , где P — периметр n-угольника, а r — радиус вписанной в него окружности (теорема 1). При возрастании числа его сторон n периметр P сколь угодно мало отличается от числа C, а радиус r — от числа R. Говорят, что при возрастании n периметр P стремится к длине окружности, а площадь $S_n$ — к площади круга S. Поэтому $$ S = \frac{1}{2}C\bullet R = \frac{1}{2} \bullet 2\pi R \bullet R = \pi R^2 $$ Итак, площадь круга вычисляется по формуле $$ S = \pi R^2 $$ , где R — радиус круга.


Обучение по геометрии

Пример 1. Найти площадь круга, если длина окружности равна k.

Решение. Длина окружности находится по формуле $C = 2\pi R$. Так как $C = k$ , то $k = 2 \pi R$ , или $R = \frac{k}{2\pi}$ , и, значит, площадь круга: $$ S = \pi R^2 = \pi \left ( \frac{k}{2\pi} \right )^2 = \frac{\pi k^2}{4\pi^2} = \frac{k^2}{4\pi} $$ Круговым сектором называется часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла (рис.2).

Площадь круга и кругового сектора

Рис.2

Площадь сектора, дуга которого содержит один градус, равна $\frac{1}{360}$ площади круга. Поэтому площадь сектора, дуга которого содержит $\alpha$ градусов, равна $ \frac{\pi R^2}{360} \alpha $ . Итак, площадь кругового сектора вычисляется по формуле $$ S = \frac{\pi R^2}{360} \alpha \,\,\, (1)$$ , где R — радиус круга, $\alpha$ — градусная мера соответствующего центрального угла.


Пример 2. В равностороннем треугольнике ABC со стороной a (рис.3) дуги КМ и LM — дуги окружностей радиусов $\frac{a}{2}$.

Равносторонний треугольник

Рис.3

Найти площадь заштрихованной части треугольника ABC.

Решение. Площадь треугольника ABC равна $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ (пример 2), площадь каждого из секторов АКМ и CML согласно формуле (2) равна $$ \frac{ \pi\left ( \frac{a}{2} \right )^2 \bullet 60 }{360} = \frac{\pi a^2}{24} $$ Поэтому искомая площадь $$ S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 - 2\bullet \frac{\pi a^2}{24} = \frac{a^2}{4} \left ( \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \right ) \approx 0,17 a^2 $$


Обучение по геометрии

subjects/geometry/площадь_круга_и_кругового_сектора.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:25 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору





закрыть[X]
Наши контакты