Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Геометрия ( Справочник )
Стереометрия ( Справочник )
Математика ( Справочник )
Русский язык ( Справочник )
Физика ( Справочник )


Геометрия:

Введение в геометрию

Отрезок, луч, угол
   Отрезок
   Луч и полуплоскость
   Угол
   Измерение отрезков
   Измерение углов
   Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Треугольники
   Треугольник и его элементы
   Признаки равенства треугольников
   Свойства равнобедренного треугольника. Третий признак равенства треугольников.

Основные геометрические построения
   Окружность
   Основные задачи на построение

Параллельные прямые
   Определение параллельных прямых
   Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых

Сумма углов треугольника
   Теорема о сумме углов треугольника
   Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника
   Расстояние от точки до прямой
   Признаки равенства прямоугольных треугольников

Четырехугольники
   Определение четырехугольника
   Параллелограмм. Расстояние между параллельными прямыми
   Диагонали и признаки параллелограмма
   Прямоугольник
   Ромб
   Квадрат
   Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
   Трапеция
   Центральная и осевая симметрии
   Пропорциональные отрезки

Тригонометрические функции острого угла. Теорема Пифагора
   Тригонометрические функции острого угла. Определения
   Теорема Пифагора
   Основные тригонометрические тождества
   Значения тригонометрических функций некоторых углов
   Зависимости между сторонами и углами прямоугольного треугольника
   Решение прямоугольных треугольников

Прямоугольные координаты
   Координатная ось
   Прямоугольная система координат на плоскости
   Расстояние между точками
   Координаты середины отрезка
   Определение тригонометрических функций для любого угла от 0 до 180°

Векторы
   Понятие вектора
   Сложение и вычитание векторов
   Умножение вектора на число
   Координаты вектора
   Скалярное произведение векторов

Подобие
   Определение подобных треугольников
   Признаки подобия треугольников
   Подобие произвольных фигур

Окружность
   Касательная к окружности
   Центральные и вписанные углы
   Вписанная и описанная окружности
   Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

Решение треугольников
   Теорема синусов и теорема косинусов
   Решение треугольников

Многоугольники. Длина окружности
   Ломаная
   Многоугольник
   Правильный многоугольник
   Длина окружности
   Длина дуги окружности. Радианная мера угла

Площади плоских фигур
   Понятие площади
   Площадь прямоугольника
   Площадь параллелограмма
   Площадь треугольника и ромба
   Площадь трапеции
   Площадь правильного многоугольника
   Площадь круга и кругового сектора


Контакты

subjects:geometry:координаты_вектора

Координаты вектора

Обозначим через $\overrightarrow{i} \,и\, \overrightarrow{j}$ единичные векторы, отложенные от точки О в положительных направлениях на осях Ох и Оу прямоугольной системы координат (рис. 1).

Координаты вектора

Рис.1

Пусть $\overrightarrow{a}$ — любой вектор на плоскости хОу. Тогда вектор $\overrightarrow{a}$ можно представить в виде $$ \overrightarrow{a} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} \,\,\, (1)$$ и притом единственным образом.

Если вектор $\overrightarrow{a}$ представлен в виде $\overrightarrow{a} = x \overrightarrow{i} + у \overrightarrow{j}$ , то говорят, что $\overrightarrow{a}$ разложен по векторам $\overrightarrow{i} \,и\, \overrightarrow{j}$ . Векторы $\overrightarrow{a}_х = x \overrightarrow{i} \,и\, \overrightarrow{a}_у = у \overrightarrow{j}$ называют составляющими вектора $\overrightarrow{a}$ по осям Ох и Оу. Коэффициенты х и у разложения вектора $\overrightarrow{a}$ по единичным векторам $\overrightarrow{i} \,и\, \overrightarrow{j}$ называют координатами вектора $\overrightarrow{a}$ в данной системе координат и записывают $\overrightarrow{a}\{х;\, у\}\text{ . Тогда }|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x^2 + у^2}$ .

Из единственности представления (1) следует, что равные векторы имеют равные соответствующие координаты, и обратно, если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.

Пусть дана точка М(х; у). Тогда $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{ОМ} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}$ , где х и у — координаты точки М, т.е. $\overrightarrow{r}\{х;\, у\}, |\overrightarrow{r}| = \sqrt{x^2 + у^2}$ .

Теорема 1. Каждая координата суммы векторов $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ равна сумме соответствующих координат этих векторов; каждая координата произведения вектора $\overrightarrow{a}$ на число k равна произведению соответствующей координаты этого вектора на число k.

Доказательство. Пусть $\overrightarrow{a} = x_1 \overrightarrow{i} + _1 \overrightarrow{j}\,\,,\, \overrightarrow{b} = x_2\overrightarrow{i} + y_2 \overrightarrow{j} $ .

Пользуясь свойствами сложения векторов и умножения вектора на число, получим $ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (x_1 \overrightarrow{i} + y_1 \overrightarrow{j}) + (x_2 \overrightarrow{i} + y_2 \overrightarrow{j}) = (x_1 + x_2)\overrightarrow{i} + (y_1 + y_2)\overrightarrow{j} $ .

Аналогично доказывается: $ k\overrightarrow{a} = K(x_1 \overrightarrow{i} + y_1 \overrightarrow{j}) = (k x_1)\overrightarrow{i} + (k y_1)\overrightarrow{j} $ .

Значит, координаты вектора $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ равны $х_1 + х_2$ и $у_1 + у_2$ , координаты вектора $k\overrightarrow{a}$ равны $kx_1 \,и\, ky_1$ . Теорема доказана.

Следствие 1. Координаты вектора $\overrightarrow{АВ}$ , заданного двумя точками $А(х_1; у_1) \,и\, В(х_2; у_2)$ , равны разностям соответствующих координат точек А и В.

Доказательство. Имеем $\overrightarrow{АВ} = \overrightarrow{ОВ} - \overrightarrow{ОА}$ (рис.2).

Репетитор геометрия и алгебра ГИА ЕГЭ

Рис.2

Так как $\overrightarrow{ОА}\{х_1; y_1\},\, \overrightarrow{ОВ}\{х_2; у_2\}$ , то по теореме 1: $\overrightarrow{АВ} \{х_2 - х_1;\, у_2 - у_1\}$ .


Обучение по геометрии

Пример 1. Найти координаты вектора $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}$ , если $\overrightarrow{a}\{3;2\},\,\overrightarrow{b}\{-3;1\}$ .

Решение. Согласно полученной теореме 1:
х = 3 - 3•(-3) = 12 ;
у = 2 - 3•1 = -1 .


Пример 2. Найти координаты вектора $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB}$ , если А(1;3) и В(5;8).

Решение. Согласно следствию 1:
x = 5 - 1 = 4 ;
y = 8 - 3 = 5 .


Обучение по геометрии

subjects/geometry/координаты_вектора.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:10 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты