Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Геометрия ( Справочник )
Стереометрия ( Справочник )
Математика ( Справочник )
Русский язык ( Справочник )
Физика ( Справочник )


Геометрия:

Введение в геометрию

Отрезок, луч, угол
   Отрезок
   Луч и полуплоскость
   Угол
   Измерение отрезков
   Измерение углов
   Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Треугольники
   Треугольник и его элементы
   Признаки равенства треугольников
   Свойства равнобедренного треугольника. Третий признак равенства треугольников.

Основные геометрические построения
   Окружность
   Основные задачи на построение

Параллельные прямые
   Определение параллельных прямых
   Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых

Сумма углов треугольника
   Теорема о сумме углов треугольника
   Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника
   Расстояние от точки до прямой
   Признаки равенства прямоугольных треугольников

Четырехугольники
   Определение четырехугольника
   Параллелограмм. Расстояние между параллельными прямыми
   Диагонали и признаки параллелограмма
   Прямоугольник
   Ромб
   Квадрат
   Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
   Трапеция
   Центральная и осевая симметрии
   Пропорциональные отрезки

Тригонометрические функции острого угла. Теорема Пифагора
   Тригонометрические функции острого угла. Определения
   Теорема Пифагора
   Основные тригонометрические тождества
   Значения тригонометрических функций некоторых углов
   Зависимости между сторонами и углами прямоугольного треугольника
   Решение прямоугольных треугольников

Прямоугольные координаты
   Координатная ось
   Прямоугольная система координат на плоскости
   Расстояние между точками
   Координаты середины отрезка
   Определение тригонометрических функций для любого угла от 0 до 180°

Векторы
   Понятие вектора
   Сложение и вычитание векторов
   Умножение вектора на число
   Координаты вектора
   Скалярное произведение векторов

Подобие
   Определение подобных треугольников
   Признаки подобия треугольников
   Подобие произвольных фигур

Окружность
   Касательная к окружности
   Центральные и вписанные углы
   Вписанная и описанная окружности
   Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

Решение треугольников
   Теорема синусов и теорема косинусов
   Решение треугольников

Многоугольники. Длина окружности
   Ломаная
   Многоугольник
   Правильный многоугольник
   Длина окружности
   Длина дуги окружности. Радианная мера угла

Площади плоских фигур
   Понятие площади
   Площадь прямоугольника
   Площадь параллелограмма
   Площадь треугольника и ромба
   Площадь трапеции
   Площадь правильного многоугольника
   Площадь круга и кругового сектора


Контакты

subjects:geometry:площадь_прямоугольника

Площадь прямоугольника

Условимся одну из сторон параллелограмма называть его основанием, а перпендикуляр, опущенный на эту сторону из какой-нибудь точки противоположной стороны параллелограмма, — высотой.

В прямоугольнике за высоту можно взять сторону, перпендикулярную к той, которая принята за основание. В трапеции высота — общий перпендикуляр между основаниями. Основание и высота прямоугольника называются его измерениями.

Теорема 1. Площадь прямоугольника равна произведению его измерений.

Доказательство.

1. Пусть измерения прямоугольника — натуральные числа m и n. Разобьем прямоугольник на единичные квадраты (как показано на рис.1, где измерения прямоугольника 5 и 3 единиц).

Площадь прямоугольника - репетитор

Рис.1

Очевидно, на прямоугольнике уложится mn единичных квадратов. По второму свойству площадей площадь прямоугольника будет равна mnквадратных единиц.

2. Пусть измерения прямоугольника — рациональные числа a и b. Приведем дроби a и b к общему знаменателю. Пусть $a = \frac{m}{q}$ и $b = \frac{m}{q}$ , где m, n и q — натуральные числа. Разобьем теперь прямоугольник на такие единичные квадраты, что длина стороны каждого из них равна $\frac{1}{q}$ части единицы длины. Прямоугольник будет содержать mn таких квадратов. Так как площадь квадрата со стороной $\frac{1}{q}$ равна $\frac{1}{q^2}$ части прежнего единичного квадрата, то площадь S прямоугольника равна $$ S = mn \bullet \frac{1}{q^2} = \frac{m}{q} \bullet \frac{n}{q} = ab $$

Теорема доказана для случая, когда измерения прямоугольника — рациональные числа. Можно доказать, что эта теорема верна и в том случае, когда хотя бы одно измерение есть иррациональное число.


Обучение по геометрии

Пример 1. Сравнить площадь прямоугольника со сторонами 48 см и 27 см с площадью квадрата со стороной 36 см.

Решение. Искомые площади прямоугольника и квадрата равны: 48 • 27 = 1296 (см2) и 362 = 1296 (см2) соответственно, т. е. площади этих фигур одинаковы.


Пример 2. Найти площадь квадрата по его диагонали, равной 4 м.

Решение. Обозначим сторону квадрата через х. По теореме Пифагора $$ x^2 + x^2 = 4^2\text{ , или }2x^2 = 16 $$ откуда х2 = 8 , т.е. площадь квадрата равна 8 м2.


Пример 3. Как изменится площадь прямоугольника, если его основание увеличить на 50%, а высоту уменьшить на 50% ?

Решение. Если основание прямоугольника принять за x, а высоту за y, то его площадь будет равна S = ху.

Основание увеличили на 50%, т.е. оно стало 1,5x. Высоту уменьшили на 50% , т.е. она стала 0,5y. Поэтому $$ S_1 = 1,5x \bullet 0,5y = 0,75 xy $$ Следовательно, площадь прямоугольника уменьшится на 25%.

Площадь прямоугольника. Пример 4

Найдите диагональ прямоугольника ABCD, если стороны квадратных клеток на рисунке равны 1.

Рекомендуем

subjects/geometry/площадь_прямоугольника.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:22 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору





закрыть[X]
Наши контакты