Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Геометрия ( Справочник )
Стереометрия ( Справочник )
Математика ( Справочник )
Русский язык ( Справочник )
Физика ( Справочник )


Геометрия:

Введение в геометрию

Отрезок, луч, угол
   Отрезок
   Луч и полуплоскость
   Угол
   Измерение отрезков
   Измерение углов
   Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Треугольники
   Треугольник и его элементы
   Признаки равенства треугольников
   Свойства равнобедренного треугольника. Третий признак равенства треугольников.

Основные геометрические построения
   Окружность
   Основные задачи на построение

Параллельные прямые
   Определение параллельных прямых
   Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых

Сумма углов треугольника
   Теорема о сумме углов треугольника
   Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника
   Расстояние от точки до прямой
   Признаки равенства прямоугольных треугольников

Четырехугольники
   Определение четырехугольника
   Параллелограмм. Расстояние между параллельными прямыми
   Диагонали и признаки параллелограмма
   Прямоугольник
   Ромб
   Квадрат
   Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
   Трапеция
   Центральная и осевая симметрии
   Пропорциональные отрезки

Тригонометрические функции острого угла. Теорема Пифагора
   Тригонометрические функции острого угла. Определения
   Теорема Пифагора
   Основные тригонометрические тождества
   Значения тригонометрических функций некоторых углов
   Зависимости между сторонами и углами прямоугольного треугольника
   Решение прямоугольных треугольников

Прямоугольные координаты
   Координатная ось
   Прямоугольная система координат на плоскости
   Расстояние между точками
   Координаты середины отрезка
   Определение тригонометрических функций для любого угла от 0 до 180°

Векторы
   Понятие вектора
   Сложение и вычитание векторов
   Умножение вектора на число
   Координаты вектора
   Скалярное произведение векторов

Подобие
   Определение подобных треугольников
   Признаки подобия треугольников
   Подобие произвольных фигур

Окружность
   Касательная к окружности
   Центральные и вписанные углы
   Вписанная и описанная окружности
   Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

Решение треугольников
   Теорема синусов и теорема косинусов
   Решение треугольников

Многоугольники. Длина окружности
   Ломаная
   Многоугольник
   Правильный многоугольник
   Длина окружности
   Длина дуги окружности. Радианная мера угла

Площади плоских фигур
   Понятие площади
   Площадь прямоугольника
   Площадь параллелограмма
   Площадь треугольника и ромба
   Площадь трапеции
   Площадь правильного многоугольника
   Площадь круга и кругового сектора


Контакты

subjects:geometry:центральные_и_вписанные_углы

Центральные и вписанные углы

Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом. На рисунке 1 заштрихован один из плоских углов со сторонами a и b.

Угол разбивает плоскость на две части
Угол разбивает плоскость на две части

Рис.1

Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными.

Если плоский угол является частью полуплоскости, то его градусной мерой называется градусная мера обычного угла с теми же сторонами. Если плоский угол содержит полуплоскость, то его градусная мера принимается равной 360° - $\alpha$, где $\alpha$ — градусная мера дополнительного плоского угла (рис.2).

градусная мера дополнительного плоского угла

Рис.2

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу (рис.3).

Центральный угол
Центральный угол

Рис.3

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность. Угол ВАС на рисунке 4 вписан в окружность.

Репетитор онлайн курсы, дистанционное обучение

Рис.4

Его вершина А лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках В и С. Говорят также, что угол А опирается на хорду ВС. Прямая ВС разбивает окружность на две дуги. Центральный угол, соответствующий той из этих дуг, которая не содержит точку А, называется центральным углом, соответствующим данному вписанному углу.

Теорема 1. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.

Доказательство. Рассмотрим частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности (рис.5).

Репетитор онлайн курсы по геометрии

Рис.5

Треугольник АОВ равнобедренный, так как у него стороны OA и OB равны как радиусы. Поэтому углы А и В треугольника равны. А так как их сумма равна внешнему углу треугольника при вершине О, то угол В треугольника равен половине угла АОС, что и требовалось доказать.

Следствие 1. Вписанные углы, стороны которых проходят через точки А и В окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой АВ, равны См. пример 2.


Обучение по геометрии

Пример 1. Точки А, В, С лежат на окружности с центром О; угол ABC равен 66°. Найти центральный угол, соответствующий углу ABC.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 5.

Репетитор онлайн курсы по геометрии

Рис.5

Угол ABC вписан в окружность. Поэтому согласно теореме о вписанном угле $\angle ABC = \frac{1}{2} \angle АОС$ или $\angle АОС = 2\angle ABC$. Но $\angle ABC = 66°$ и, значит, $\angle АОС = 132°$ .


Пример 2. Точки А, В, С лежат на окружности. Чему равна хорда АС, если угол ABC равен 30°, а диаметр окружности 10 см?

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 6, где $\angle ABC = 30°$ .

Геометрия репетитор онлайн

Рис.6

Так как вписанный угол ABC равен $\frac{1}{2} \angle АОС\text{ , то }\angle АОС = 60°. $ Следовательно, треугольник АОС равносторонний, и, значит, хорда АС равна радиусу данной окружности. А так как диаметр равен 10 см, то радиус равен 5 см.

Следствие 1. Вписанные углы, стороны которых проходят через точки А и В окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой АВ, равны (рис. 7).

Дистанционное обучение

Рис.7

В частности, углы, опирающиеся на диаметр, прямые.


Пример 3. Точка O — центр окружности, ∠ ACB = 25°. Найдите величину угла AOB (в градусах).

Видео-решение.


Обучение по геометрии

subjects/geometry/центральные_и_вписанные_углы.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:14 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты