Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Геометрия ( Справочник )
Стереометрия ( Справочник )
Математика ( Справочник )
Русский язык ( Справочник )
Физика ( Справочник )


Геометрия:

Введение в геометрию

Отрезок, луч, угол
   Отрезок
   Луч и полуплоскость
   Угол
   Измерение отрезков
   Измерение углов
   Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Треугольники
   Треугольник и его элементы
   Признаки равенства треугольников
   Свойства равнобедренного треугольника. Третий признак равенства треугольников.

Основные геометрические построения
   Окружность
   Основные задачи на построение

Параллельные прямые
   Определение параллельных прямых
   Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых

Сумма углов треугольника
   Теорема о сумме углов треугольника
   Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника
   Расстояние от точки до прямой
   Признаки равенства прямоугольных треугольников

Четырехугольники
   Определение четырехугольника
   Параллелограмм. Расстояние между параллельными прямыми
   Диагонали и признаки параллелограмма
   Прямоугольник
   Ромб
   Квадрат
   Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
   Трапеция
   Центральная и осевая симметрии
   Пропорциональные отрезки

Тригонометрические функции острого угла. Теорема Пифагора
   Тригонометрические функции острого угла. Определения
   Теорема Пифагора
   Основные тригонометрические тождества
   Значения тригонометрических функций некоторых углов
   Зависимости между сторонами и углами прямоугольного треугольника
   Решение прямоугольных треугольников

Прямоугольные координаты
   Координатная ось
   Прямоугольная система координат на плоскости
   Расстояние между точками
   Координаты середины отрезка
   Определение тригонометрических функций для любого угла от 0 до 180°

Векторы
   Понятие вектора
   Сложение и вычитание векторов
   Умножение вектора на число
   Координаты вектора
   Скалярное произведение векторов

Подобие
   Определение подобных треугольников
   Признаки подобия треугольников
   Подобие произвольных фигур

Окружность
   Касательная к окружности
   Центральные и вписанные углы
   Вписанная и описанная окружности
   Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

Решение треугольников
   Теорема синусов и теорема косинусов
   Решение треугольников

Многоугольники. Длина окружности
   Ломаная
   Многоугольник
   Правильный многоугольник
   Длина окружности
   Длина дуги окружности. Радианная мера угла

Площади плоских фигур
   Понятие площади
   Площадь прямоугольника
   Площадь параллелограмма
   Площадь треугольника и ромба
   Площадь трапеции
   Площадь правильного многоугольника
   Площадь круга и кругового сектора


Контакты

subjects:geometry:теорема_синусов_и_теорема_косинусов

Будем обозначать стороны треугольника через $a, b, c$, a противолежащие им углы через $\alpha, \beta, \gamma$.

Теорема синусов и теорема косинусов

Теорема 1. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство. Пусть ABC — треугольник со сторонами $a, b, c$ и противолежащими углами $\alpha, \beta, \gamma$ (рис.1, а).

Теорема синусов

Рис.1

Докажем, что $$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} $$ Опустим из вершины С высоту CD. Из прямоугольного треугольника ACD, если угол $\alpha$ острый, получаем: $CD = b \sin \alpha$ (рис.1, б). Если угол $\alpha$ тупой, то $CD = b \sin(180° - \alpha ) = b \sin \alpha$ (рис.1, в). Так же из треугольника BCD получаем: $CD = a \sin \beta$ . Итак, $a \sin \beta = b \sin \alpha$ . Отсюда $$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} $$ Аналогично доказывается равенство $$ \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} $$ Для доказательства надо провести высоту треугольника из вершины А. Теорема доказана.

Следствие 1. $$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R $$ , где R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Справедлива и следующая теорема.

Теорема 2. Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Например, $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \bullet \cos \alpha $$


Обучение по геометрии

Пример 1. В треугольнике ABC угол $\alpha$ равен 30°, угол $\beta$ равен 30°. Найти отношение а:с.

Решение. По теореме синусов $$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma} $$ Используя теорему о сумме внутренних углов треугольника, имеем $$ \gamma = 180° - (30° + 30°) = 120° $$ Так как $$ sin 120° = sin(180° - 60°) = sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$\text{ , то } \frac{a}{ \frac{1}{2} } = \frac{c}{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } \text{ , или } a:с = 1:\sqrt{3} $$


Пример 2. В треугольнике две стороны 20 м и 21 м, а синус острого угла а между ними равен 0,6. Найти третью сторону а.

Решение. Угол $\alpha$ острый, следовательно, $\cos \alpha > 0$ . Найдем его, используя тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ : $$ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha } = \sqrt{1 - 0,36} = 0,8 $$ Теперь по теореме косинусов имеем: $$ a^2 = 20^2 + 21^2 - 2•20•21•0,8 = 169 $$ откуда а = 13 м.


Пример 3. Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Доказательство. Пусть ABCD — параллелограмм (рис.2).

Параллелограмм геометрия обучение онлайн

Рис.2

Применим теорему косинусов к треугольникам ABC и ABD. Получим $$ АС^2 = АВ^2 + ВС^2 - 2АВ • ВС • cos \beta \\ BD^2 = АВ^2 + AD^2 - 2АВ • AD • cos \alpha $$ Так как $\beta = 180° - \alpha$ , то, складывая эти равенства и замечая, что $\cos \beta = \cos (180° - \alpha) = -\cos \alpha \,; АВ = CD\,; ВС = AD$ , получим $$ АС^2 + BD^2 = АВ^2 + ВС^2 + CD^2 + AD^2 $$


Пример 4. Длина вектора AB равна 3, длина вектора AC равна 5. Косинус угла между этими векторами равен 1/15. Найдите длину вектора AB + AC.

Видео-решение.


Обучение по геометрии

subjects/geometry/теорема_синусов_и_теорема_косинусов.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:19 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору





закрыть[X]
Наши контакты