Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Геометрия ( Справочник )
Стереометрия ( Справочник )
Математика ( Справочник )
Русский язык ( Справочник )
Физика ( Справочник )


Математика:

Основы:
   Координатная прямая, сравнение чисел
   Рациональные числа

Числа и выражения:
   Выражения, преобразования выражений
   Степень с натуральным показателем, ее свойства
   Одночлены, многочлены
   Рациональные дроби и их свойства
   Квадратные корни
   Степень с целым показателем и ее свойства
   Корень n-я степени, степень с рациональным показателем и их свойства
   Тригонометрические выражения и тригонометрические формулы

Уравнения и неравенства:
   Уравнения с одной переменной
   Системы линейных уравнений
   Квадратные уравнения
   Неравенства с одной переменной и их системы

Функции и графики:
   Функции, их свойства
   Линейная функция (прямая пропорциональность)
   Гипербола (обратная пропорциональность)
   Квадратичная функция (парабола)
   Степенная функция
   График сложной функции

Прогрессии:
   Арифметическая прогрессия
   Геометрическая прогрессия

Текстовые задачи:
   Решение текстовых задач

Теория вероятностей:
   Теория вероятностей


Метод рационализации


Действие с дробями простыми и десятичными
Формулы сокращённого умножения
Иррациональные уравнения


Контакты

subjects:mathematics:тригонометрические_выражения_и_формулы

Тригонометрические выражения и тригонометрические формулы

Отметим на координатной оси Ох справа от точки О точку А и построим окружность с центром в точке О и радиусом ОА (так называемым начальным радиусом).

Единичный круг
Окружность с центром в точке О и радиусом ОА

Рис.1

Пусть при повороте на угол a против часовой стрелки начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ.

Тогда:

  • Синусом (sin α) угла α называется отношение ординаты точки В к длине радиуса.
  • Косинусом (cos α) угла α называется отношение абсциссы точки В к длине радиуса.
  • Тангенсом (tg α) угла α называется отношение ординаты точки В к ее абсциссе.
  • Котангенсом (ctg α) угла α называется отношение абсциссы точки В к ее ординате.
  • Секанс определяется как sec α = 1/(cos α)
  • Косеканс определяется как cosec α = 1/(sin α)
  • В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x

Если координаты точки В равны x и y, то:

$$\sin{\alpha} = \frac{y}{R}\;;\; \cos{\alpha} = \frac{x}{R}\;;\; {\rm tg}\, \alpha = \frac{y}{x}\;;\; {\rm ctg}\, \alpha = \frac{x}{y}$$

Таблица значений sin α, cos α, tg α, ctg α

Приведем таблицу значений тригонометрических функций некоторых углов (прочерк сделан, когда выражение не имеет смысла):

Таблица значений sin α, cos α, tg α, ctg α



0 рад
30º
$$\frac{\pi}{6}$$
45º
$$\frac{\pi}{4}$$
60º
$$\frac{\pi}{3}$$
90º
$$\frac{\pi}{2}$$
180º

$$\pi$$
270º
$$\frac{3\pi}{2}$$
360º

$$2\pi$$
$$\sin \alpha$$ 0 $$\frac{1}{2}$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 1 0 -1 0
$$\cos \alpha$$ 1 $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\frac{1}{2}$$ 0 -1 0 1
$${\rm tg}\, \alpha$$ 0 $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$ 1 $$\sqrt{3}$$ - 0 - 0
$${\rm ctg}\, \alpha$$ - $$\sqrt{3}$$ 1 $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$ 0 - 0 -

Свойства sin, cos, tg и ctg

Свойства синуса (sin), косинуса (cos), тангенса(tg) и котангенса(ctg):

  1. Определение знака
    • Если α-угол I или II координатной четверти, то sin α > 0;
    • Если α-угол III или IV координатной четверти, то sin α < 0;
    • Если α-угол I или IV координатной четверти, то cos α > 0;
    • Если α-угол II или III координатной четверти, то cos α < 0;
    • Если α-угол I или III координатной четверти, то tg α > 0 и ctg α > 0;
    • Если α-угол II или IV координатной четверти, то tg α < 0 и ctg α < 0.
  2. Синус, тангенс и котангенс - нечетные функции; косинус - четная функция.
    • Для чётной функции справедливо равенство: y(-x) = y(x). Примеры чётных функций: y = cos(x), y = x2.
    • Для НЕчётной функции справедливо равенство: y(-x) = -y(x). Примеры НЕчётных функций: y = sin(x), y = x.
  3. При изменении угла на целое число оборотов значения тригонометрических функций не меняются.
    • У sin α и cos α период – $2\pi$ или 360°.
    • У tg α и ctg α – $\pi$.

1 радиан - это мера центрального угла, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности.

Связь радианов с градусами: $1° =\frac{\pi}{180}\text{рад; 1 рад }=\frac{180°}{\pi}$.

Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества

Формулы приведения

X $\frac{\pi}{2}-\alpha$ $\frac{\pi}{2}+\alpha$ $\pi-\alpha$ $\pi+\alpha$ $\frac{3\pi}{2}-\alpha$ $\frac{3\pi}{2}+\alpha$ $2\pi-\alpha$ $2\pi+\alpha$
sin x cos α cos α sin α -sin α -cos α -cos α -sin α sin α
cos x sin α -sin α -cos α -cos α -sin α sin α cos α cos α
tg x ctg α -ctg α -tg α tg α ctg α -ctg α -tg α tg α
ctg x tg α -tg α -ctg α ctg α tg α -tg α -ctg α ctg α

Формулы сложения

Формулы сложения

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла или двойного аргумента:

Формулы двойного угла

Формулы половинного аргумента

Формулы половинного аргумента (для sin и cos - формулы понижения степени):

Формулы половинного аргумента

Формулы суммы и разности

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Формулы произведения

Формулы произведения

Соотношения между sin x, cos x и tg(x/2)

Один из способов использования: свести всё к tg(x/2) и путём замены получить обычное алгебраическое выражение.

Соотношения между sin x, cos x и tg(x/2)

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения

Дополнительно

subjects/mathematics/тригонометрические_выражения_и_формулы.txt · Последние изменения: 2014/02/26 22:10 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты