Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Геометрия ( Справочник )
Стереометрия ( Справочник )
Математика ( Справочник )
Русский язык ( Справочник )
Физика ( Справочник )


Геометрия:

Введение в геометрию

Отрезок, луч, угол
   Отрезок
   Луч и полуплоскость
   Угол
   Измерение отрезков
   Измерение углов
   Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Треугольники
   Треугольник и его элементы
   Признаки равенства треугольников
   Свойства равнобедренного треугольника. Третий признак равенства треугольников.

Основные геометрические построения
   Окружность
   Основные задачи на построение

Параллельные прямые
   Определение параллельных прямых
   Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых

Сумма углов треугольника
   Теорема о сумме углов треугольника
   Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника
   Расстояние от точки до прямой
   Признаки равенства прямоугольных треугольников

Четырехугольники
   Определение четырехугольника
   Параллелограмм. Расстояние между параллельными прямыми
   Диагонали и признаки параллелограмма
   Прямоугольник
   Ромб
   Квадрат
   Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
   Трапеция
   Центральная и осевая симметрии
   Пропорциональные отрезки

Тригонометрические функции острого угла. Теорема Пифагора
   Тригонометрические функции острого угла. Определения
   Теорема Пифагора
   Основные тригонометрические тождества
   Значения тригонометрических функций некоторых углов
   Зависимости между сторонами и углами прямоугольного треугольника
   Решение прямоугольных треугольников

Прямоугольные координаты
   Координатная ось
   Прямоугольная система координат на плоскости
   Расстояние между точками
   Координаты середины отрезка
   Определение тригонометрических функций для любого угла от 0 до 180°

Векторы
   Понятие вектора
   Сложение и вычитание векторов
   Умножение вектора на число
   Координаты вектора
   Скалярное произведение векторов

Подобие
   Определение подобных треугольников
   Признаки подобия треугольников
   Подобие произвольных фигур

Окружность
   Касательная к окружности
   Центральные и вписанные углы
   Вписанная и описанная окружности
   Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

Решение треугольников
   Теорема синусов и теорема косинусов
   Решение треугольников

Многоугольники. Длина окружности
   Ломаная
   Многоугольник
   Правильный многоугольник
   Длина окружности
   Длина дуги окружности. Радианная мера угла

Площади плоских фигур
   Понятие площади
   Площадь прямоугольника
   Площадь параллелограмма
   Площадь треугольника и ромба
   Площадь трапеции
   Площадь правильного многоугольника
   Площадь круга и кругового сектора


Контакты

subjects:geometry:теорема_о_сумме_углов_треугольника

Теорема о сумме углов треугольника

Теорема 1. Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°.

Проведем через вершину В прямую а, параллельную стороне АС (рис.1).

Сумма углов треугольника равна 180°

Рис.1

Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 — накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому
∠ 4 = ∠ 1, ∠ 5 = ∠ 3. (1)

Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т. е.
∠ 4 + ∠ 2 + ∠ 5 = 180°.

Отсюда, учитывая равенства (1), получаем:
∠ l + ∠ 2 + ∠ 3 = 180°, или ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°.

Теорема доказана.

Следствие 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Следствие 2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45°.

Следствие 3. В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.

Следствие 4. В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

Следствие 5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство. Из равенств ∠ 4 + ∠ 3 = 180° и ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180° (рис.2) получаем, что ∠ 4 = ∠ 1 + ∠ 2.

Доказательство по геометрии для ГИА и ЕГЭ

Рис.2


Обучение по геометрии

Пример 1. Два угла треугольника равны 27° и 41°. Найти третий угол и определить вид треугольника.

Решение. Так как сумма двух углов треугольника равна 68°, то по теореме о сумме углов треугольника третий угол равен 180° - 68° = 112° и, значит, данный треугольник тупоугольный.


Пример 2. Какой вид имеет треугольник, в котором один угол равен сумме двух других углов?

Решение. Обозначим через х градусную меру того угла треугольника, который равен сумме двух других углов. Тогда, так как сумма углов треугольника равна 180°, то 2х = 180°, откуда х = 90°, т. е. треугольник прямоугольный.


Пример 3. Найти углы треугольника ABC, зная, что угол С на 15° больше, а угол В на 30° меньше угла А.

Решение. Обозначим градусную меру угла А через х, тогда градусная мера угла С равна х + 15°, а угол В = х - 30° (рис.3).

Подготовка ГИА и ЕГЭ

Рис.3

Так как сумма внутренних углов треугольника равна 180°, то получаем уравнение х + (х + 15°) + (х - 30°) = 180°.

Решая его, получаем х = 65°.

Таким образом, ∠ A = 65°, ∠ B = 35° и ∠ C = 80°.


Пример 4. В треугольнике ABC (рис.4) ∠ A = 60°, ∠ В = 80°.

Геометрия для ГИА и ЕГЭ

Рис.4

Биссектриса AD этого треугольника отсекает от него треугольник ACD. Найти углы этого треугольника.

Решение. ∠ DAB = 30°, так как AD — биссектриса угла А, ∠ ADC = 30° + 80°= 110° как внешний угол треугольника ABD (следствие 5), ∠ С = 180° - (110° + 30°) = 40° по теореме о сумме углов треугольника ACD.


Обучение по геометрии

subjects/geometry/теорема_о_сумме_углов_треугольника.txt · Последние изменения: 2013/10/12 01:52 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты