Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Геометрия ( Справочник )
Стереометрия ( Справочник )
Математика ( Справочник )
Русский язык ( Справочник )
Физика ( Справочник )


Геометрия:

Введение в геометрию

Отрезок, луч, угол
   Отрезок
   Луч и полуплоскость
   Угол
   Измерение отрезков
   Измерение углов
   Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Треугольники
   Треугольник и его элементы
   Признаки равенства треугольников
   Свойства равнобедренного треугольника. Третий признак равенства треугольников.

Основные геометрические построения
   Окружность
   Основные задачи на построение

Параллельные прямые
   Определение параллельных прямых
   Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых

Сумма углов треугольника
   Теорема о сумме углов треугольника
   Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника
   Расстояние от точки до прямой
   Признаки равенства прямоугольных треугольников

Четырехугольники
   Определение четырехугольника
   Параллелограмм. Расстояние между параллельными прямыми
   Диагонали и признаки параллелограмма
   Прямоугольник
   Ромб
   Квадрат
   Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
   Трапеция
   Центральная и осевая симметрии
   Пропорциональные отрезки

Тригонометрические функции острого угла. Теорема Пифагора
   Тригонометрические функции острого угла. Определения
   Теорема Пифагора
   Основные тригонометрические тождества
   Значения тригонометрических функций некоторых углов
   Зависимости между сторонами и углами прямоугольного треугольника
   Решение прямоугольных треугольников

Прямоугольные координаты
   Координатная ось
   Прямоугольная система координат на плоскости
   Расстояние между точками
   Координаты середины отрезка
   Определение тригонометрических функций для любого угла от 0 до 180°

Векторы
   Понятие вектора
   Сложение и вычитание векторов
   Умножение вектора на число
   Координаты вектора
   Скалярное произведение векторов

Подобие
   Определение подобных треугольников
   Признаки подобия треугольников
   Подобие произвольных фигур

Окружность
   Касательная к окружности
   Центральные и вписанные углы
   Вписанная и описанная окружности
   Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

Решение треугольников
   Теорема синусов и теорема косинусов
   Решение треугольников

Многоугольники. Длина окружности
   Ломаная
   Многоугольник
   Правильный многоугольник
   Длина окружности
   Длина дуги окружности. Радианная мера угла

Площади плоских фигур
   Понятие площади
   Площадь прямоугольника
   Площадь параллелограмма
   Площадь треугольника и ромба
   Площадь трапеции
   Площадь правильного многоугольника
   Площадь круга и кругового сектора


Контакты

subjects:geometry:вписанная_и_описанная_окружности

Вписанная и описанная окружности

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Теорема 1. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник, О — центр вписанной в него окружности, D, Е и F — точки касания окружности со сторонами (рис.1).

Репетитор онлайн курсы обучение

Рис.1

Прямоугольные треугольники AOD и АОЕ равны по гипотенузе и катету. У них гипотенуза АО общая, а катеты OD и ОЕ равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов OAD и ОАЕ. А это значит, что точка О лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины А. Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух других биссектрисах треугольника. Теорема доказана.

В случае описанной окружности имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (рис.2).

Вся геометрия онлайн

Рис.2


Обучение по геометрии

Пример 1. Найти радиус окружности r, вписанной в равносторонний треугольник ABC со стороной а.

Решение. В силу [свойства_равнобедренного_треугольника|теоремы 2] в равностороннем треугольнике каждая биссектриса является одновременно медианой и высотой. Поэтому центр О вписанной окружности лежит в точке пересечения медиан, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины (пример 5).

Треугольник и вписанная окружность

Рис.3

Из прямоугольного треугольника ACD (рис.3) согласно теореме Пифагора имеем: $$ AC^2 = AD^2 + CD^2\text{ , или }CD^2 = AC^2 - AD^2 \\ \text{, откуда } \\ CD^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} \\ \text{ и, значит, } \\ CD^2 = \frac{ a\sqrt{3} }{2} \\ \text{ . Поэтому }r = \frac{a \sqrt{3} }{6} $$


Пример 2. В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 и 16 см. Вычислить радиус описанной окружности.

Решение. Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности совпадает с серединой гипотенузы, откуда радиус описанной окружности $R = \frac{1}{2} АВ$ (рис.4).

Описанный треугольник

Рис.4

По теореме Пифагора $$ АВ^2 = АС^2 + СВ^2 \text{ или Рис.4 } \\ АВ^2 =16^2 + 12^2 = 400 \\ \text{ откуда }АВ = \sqrt{400} = 20\text{ и, значит, }R = 10\text{ (см).} $$


Пример 3. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равна 12. Окружность с центром вне этого треугольника имеет радиус 8 и касается продолжения боковых сторон треугольника ABC: BC и BA, а также касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Видео-решение.


Обучение по геометрии

subjects/geometry/вписанная_и_описанная_окружности.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:14 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору





закрыть[X]
Наши контакты