eduVdom.com eduVdom.com - сайт домашнего обучения

Физика, математика, геометрия. Быстрая подготовка к ЕГЭ и ГИА.

 
Решаем задачи по скайпу

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Теорема 1. Теорема Фалеса1). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство. Пусть А1, А2, А3 — точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла и А2 лежит между А1 и А3 (рис.1).

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Рис.1

Пусть B1 В2, В3 — соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если А1А2 = A2A3, то В1В2 = В2В3.

Проведем через точку В2 прямую EF, параллельную прямой А1А3. По свойству параллелограмма А1А2 = FB2 , A2A3 = B2E .

И так как А1А2 = A2A3, то FB2 = В2Е.

Треугольники B2B1F и В2В3Е равны по второму признаку. У них B2F = В2Е по доказанному. Углы при вершине В2 равны как вертикальные, а углы B2FB1 и B2EB3 равны как внутренние накрест лежащие при параллельных А1В1 и A3B3 и секущей EF. Из равенства треугольников следует равенство сторон: В1В2 = В2В3 . Теорема доказана.

С использованием теоремы Фалеса устанавливается следующая теорема.

Теорема 2. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке 2 отрезок ED — средняя линия треугольника ABC.


ED — средняя линия треугольника ABC

Рис.2


Обучение по геометрии

Пример 1. Разделить данный отрезок на четыре равные части.

Решение. Пусть АВ — данный отрезок (рис.3), который надо разделить на 4 равные части.

Деление отрезка 
на четыре равные части
Деление отрезка на четыре равные части

Рис.3

Для этого через точку А проведем произвольную полупрямую а и отложим на ней последовательно четыре равных между собой отрезка AC, CD, DE, ЕК.

Соединим точки В и К отрезком. Проведем через оставшиеся точки С, D, Е прямые, параллельные прямой ВК, так, чтобы они пересекли отрезок АВ.

Согласно теореме Фалеса отрезок АВ разделится на четыре равные части.


Пример 2. Диагональ прямоугольника равна а. Чему равен периметр четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон прямоугольника?

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 4.

Геометрия ЕГЭ и ГИА

Рис.4

Тогда EF — средняя линия треугольника ABC и, значит, по теореме 2. $$ EF = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2} $$

Аналогично $$ HG = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2} , EH = \frac{1}{2}BD = \frac{a}{2} , FG = \frac{1}{2}BD = \frac{a}{2} $$ и, следовательно, периметр четырехугольника EFGH равен 2a.


Пример 3. Стороны треугольника равны 2 см, 3 см и 4 см, а вершины его — середины сторон другого треугольника. Найти периметр большого треугольника.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 5.

Подготовка к ГИА и ЕГЭ по геометрии

Рис.5

Отрезки АВ, ВС, АС — средние линии треугольника DEF. Следовательно, согласно теореме 2 $$ AB = \frac{1}{2}EF\ \ ,\ \ BC = \frac{1}{2}DE\ \ ,\ \ AC = \frac{1}{2}DF $$ или $$ 2 = \frac{1}{2}EF\ \ ,\ \ 3 = \frac{1}{2}DE\ \ ,\ \ 4 = \frac{1}{2}DF $$ откуда $$ EF = 4\ \ ,\ \ DE = 6\ \ ,\ \ DF = 8 $$ и, значит, периметр треугольника DEF равен 18 см.


Пример 4. В прямоугольном треугольнике через середину его гипотенузы проведены прямые, параллельные его катетам. Найти периметр образовавшегося прямоугольника, если катеты треугольника равны 10 см и 8 см.

Решение. В треугольнике ABC (рис.6)

Геометрия треугольник

Рис.6

∠ А прямой, АВ = 10 см, АС = 8 см, KD и MD — средние линии треугольника ABC, откуда $$ KD = \frac{1}{2}AC = 4 см. \\ MD = \frac{1}{2}AB = 5 см. $$ Периметр прямоугольника К DMА равен 18 см.


Обучение по геометрии

1) Фалес Милетский — древнегреческий ученый философ и математик из Милета (Малая Азия), живший в VI в. до н. э.
subjects/geometry/теорема_фалеса._средняя_линия_треугольника.txt · Последние изменения: 2013/10/12 01:59 — ¶
 
На главную страницу Тестирование Wikipedia Купить Контакты Нашли ошибку? Справка
RGBcenter
Recent changes RSS feed Donate Powered by PHP Valid XHTML 1.0 Valid CSS Driven by DokuWiki