Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Геометрия ( Справочник )
Стереометрия ( Справочник )
Математика ( Справочник )
Русский язык ( Справочник )
Физика ( Справочник )


Геометрия:

Введение в геометрию

Отрезок, луч, угол
   Отрезок
   Луч и полуплоскость
   Угол
   Измерение отрезков
   Измерение углов
   Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Треугольники
   Треугольник и его элементы
   Признаки равенства треугольников
   Свойства равнобедренного треугольника. Третий признак равенства треугольников.

Основные геометрические построения
   Окружность
   Основные задачи на построение

Параллельные прямые
   Определение параллельных прямых
   Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых

Сумма углов треугольника
   Теорема о сумме углов треугольника
   Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника
   Расстояние от точки до прямой
   Признаки равенства прямоугольных треугольников

Четырехугольники
   Определение четырехугольника
   Параллелограмм. Расстояние между параллельными прямыми
   Диагонали и признаки параллелограмма
   Прямоугольник
   Ромб
   Квадрат
   Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
   Трапеция
   Центральная и осевая симметрии
   Пропорциональные отрезки

Тригонометрические функции острого угла. Теорема Пифагора
   Тригонометрические функции острого угла. Определения
   Теорема Пифагора
   Основные тригонометрические тождества
   Значения тригонометрических функций некоторых углов
   Зависимости между сторонами и углами прямоугольного треугольника
   Решение прямоугольных треугольников

Прямоугольные координаты
   Координатная ось
   Прямоугольная система координат на плоскости
   Расстояние между точками
   Координаты середины отрезка
   Определение тригонометрических функций для любого угла от 0 до 180°

Векторы
   Понятие вектора
   Сложение и вычитание векторов
   Умножение вектора на число
   Координаты вектора
   Скалярное произведение векторов

Подобие
   Определение подобных треугольников
   Признаки подобия треугольников
   Подобие произвольных фигур

Окружность
   Касательная к окружности
   Центральные и вписанные углы
   Вписанная и описанная окружности
   Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

Решение треугольников
   Теорема синусов и теорема косинусов
   Решение треугольников

Многоугольники. Длина окружности
   Ломаная
   Многоугольник
   Правильный многоугольник
   Длина окружности
   Длина дуги окружности. Радианная мера угла

Площади плоских фигур
   Понятие площади
   Площадь прямоугольника
   Площадь параллелограмма
   Площадь треугольника и ромба
   Площадь трапеции
   Площадь правильного многоугольника
   Площадь круга и кругового сектора


Контакты

subjects:geometry:умножение_вектора_на_число

Умножение вектора на число

Теорема 1. Два вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$ .

Умножение вектора на число обладает следующими основными свойствами.

Свойства. Для любых чисел k, l и любых векторов $\overrightarrow{a}\,, \overrightarrow{b}$ справедливы следующие равенства:

  1. $(kl)\overrightarrow{a} = k(l\overrightarrow{a})$ {сочетательный закон).
  2. $(k + l)\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{a} + l\overrightarrow{a}$ {первыйраспределительный закон).
  3. $k(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = k\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}$ {второй распределительный закон).

Рисунок 1 иллюстрирует сочетательный закон. На этом рисунке представлен случай, когда k = 2, l = 3.

иллюстрирует сочетательный закон. На этом рисунке представлен случай, когда k = 2, l = 3

Рис.1

Рисунок 2 иллюстрирует первый распределительный закон. На этом рисунке представлен случай, когда k = 3, l = 2.

иллюстрирует первый распределительный закон. На этом рисунке представлен случай, когда k = 3, l = 2

Рис.2

Примечание. Рассмотренные свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например, выражение $$ \overrightarrow{р} = 2(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) + (\overrightarrow{c} + \overrightarrow{a}) - 3(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{a}) $$ можно преобразовать так: $$ \overrightarrow{р} = 2\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c} - 3\overrightarrow{a} = - 5\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{c} $$


Обучение по геометрии

Пример 1. Коллинеарны ли векторы $2\overrightarrow{a} \,и\, -\overrightarrow{a}$ ?

Решение. Имеем $2\overrightarrow{a} = -2(-\overrightarrow{a})$ . Значит, данные векторы коллинеарны.


Пример 2. Дан треугольник ABC. Выразите через векторы $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{АВ} \,и\, \overrightarrow{b} = \overrightarrow{АС}$ следующие векторы: $а)\, \overrightarrow{ВА}\text{ ; б) }\overrightarrow{СВ}\text{ ; в) }\overrightarrow{СВ} + \overrightarrow{ВА}$ .

Решение

а) Векторы $\overrightarrow{ВА} \,и\, \overrightarrow{АВ}$ — противоположные, поэтому $\overrightarrow{ВА} = -\overrightarrow{АВ}\text{ , или }\overrightarrow{ВА} = -\overrightarrow{a}$ .

б) По правилу треугольника $\overrightarrow{СВ} = \overrightarrow{СА} + \overrightarrow{АВ}$ . Но $\overrightarrow{СА} = -\overrightarrow{АС}$ , поэтому $\overrightarrow{СВ} = \overrightarrow{АВ} + (-\overrightarrow{АС}) = \overrightarrow{АВ} -\overrightarrow{АС} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ .

в) $\overrightarrow{СВ} + \overrightarrow{ВА} = \overrightarrow{СА} = -\overrightarrow{АС} = -\overrightarrow{b}$.


Обучение по геометрии

subjects/geometry/умножение_вектора_на_число.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:09 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору





закрыть[X]
Наши контакты