Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Геометрия ( Справочник )
Стереометрия ( Справочник )
Математика ( Справочник )
Русский язык ( Справочник )
Физика ( Справочник )


Геометрия:

Введение в геометрию

Отрезок, луч, угол
   Отрезок
   Луч и полуплоскость
   Угол
   Измерение отрезков
   Измерение углов
   Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Треугольники
   Треугольник и его элементы
   Признаки равенства треугольников
   Свойства равнобедренного треугольника. Третий признак равенства треугольников.

Основные геометрические построения
   Окружность
   Основные задачи на построение

Параллельные прямые
   Определение параллельных прямых
   Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых

Сумма углов треугольника
   Теорема о сумме углов треугольника
   Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника
   Расстояние от точки до прямой
   Признаки равенства прямоугольных треугольников

Четырехугольники
   Определение четырехугольника
   Параллелограмм. Расстояние между параллельными прямыми
   Диагонали и признаки параллелограмма
   Прямоугольник
   Ромб
   Квадрат
   Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
   Трапеция
   Центральная и осевая симметрии
   Пропорциональные отрезки

Тригонометрические функции острого угла. Теорема Пифагора
   Тригонометрические функции острого угла. Определения
   Теорема Пифагора
   Основные тригонометрические тождества
   Значения тригонометрических функций некоторых углов
   Зависимости между сторонами и углами прямоугольного треугольника
   Решение прямоугольных треугольников

Прямоугольные координаты
   Координатная ось
   Прямоугольная система координат на плоскости
   Расстояние между точками
   Координаты середины отрезка
   Определение тригонометрических функций для любого угла от 0 до 180°

Векторы
   Понятие вектора
   Сложение и вычитание векторов
   Умножение вектора на число
   Координаты вектора
   Скалярное произведение векторов

Подобие
   Определение подобных треугольников
   Признаки подобия треугольников
   Подобие произвольных фигур

Окружность
   Касательная к окружности
   Центральные и вписанные углы
   Вписанная и описанная окружности
   Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

Решение треугольников
   Теорема синусов и теорема косинусов
   Решение треугольников

Многоугольники. Длина окружности
   Ломаная
   Многоугольник
   Правильный многоугольник
   Длина окружности
   Длина дуги окружности. Радианная мера угла

Площади плоских фигур
   Понятие площади
   Площадь прямоугольника
   Площадь параллелограмма
   Площадь треугольника и ромба
   Площадь трапеции
   Площадь правильного многоугольника
   Площадь круга и кругового сектора


Контакты

subjects:geometry:правильный_многоугольник

Правильный многоугольник

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Примеры правильных многоугольников: правильный (или равносторонний) треугольник, квадрат, правильные пятиугольник, шестиугольник и т.д. На рисунке 1 изображены правильные пятиугольник и шестиугольник.

Правильные пяти- и шестиугольник
Правильные пятиугольник и шестиугольник

Рис.1

Так как сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна (n - 2)180 , то каждый внутренний угол правильного n-угольника равен $$ \frac{n - 2}{n} \bullet 180^{\circ} $$

Теорема 1. Если выпуклый многоугольник правильный, то:

  1. около него можно описать окружность;
  2. в него можно вписать окружность, причем центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Эта точка называется центром правильного многоугольника.

Приведем формулы для радиуса R описанной окружности и радиуса r вписанной окружности для правильного n-угольника со стороной а: $$ R = \frac{a}{2 \sin { \frac{180 ^{\circ}}{n} } } \,\,\, (1) \\ r = \frac{a}{2 {\rm tg}\, { \frac{180 ^{\circ}}{n} } } \,\,\, (2) $$


Обучение по геометрии

Пример 1. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен 135°?

Решение. По условию задачи составим уравнение $$ \frac{n - 2}{n} \bullet 180 = 135 \\ \text{ или } \\ (n - 2) \bullet 180 = 135 \bullet n $$ , откуда 45n = 360 и, значит, n = 8.

Для выпуклых правильных многоугольников справедлива следующая теорема.


Пример 2. Для правильного (равностороннего) треугольника $ \left ( n = 3\,; \frac{180 ^{\circ}}{3} = 60^{\circ} \right) $ $$ R = \frac{a}{2 \bullet \sin 60 ^{\circ} } = \frac{a}{ \sqrt{3} } \\ r = \frac{a}{2 \bullet {\rm tg}\, 60 ^{\circ} } = \frac{a}{ 2 \sqrt{3} } $$


Пример 3. Для правильного четырехугольника, т. е. квадрата $ \left ( n = 4\,; \frac{180 ^{\circ}}{4} = 45^{\circ} \right) $ $$ R = \frac{a}{2 \bullet \sin 45 ^{\circ} } = \frac{a}{ \sqrt{2} } \\ r = \frac{a}{2 \bullet {\rm tg}\, 45 ^{\circ} } = \frac{a}{2} $$


Пример 4. Для правильного шестиугольника $ \left ( n = 6\,; \frac{180 ^{\circ}}{6} = 30^{\circ} \right) $ $$ R = \frac{a}{2 \bullet \sin 30 ^{\circ} } = a \,\,;\,\, r = \frac{a}{2 \bullet {\rm tg}\, 30 ^{\circ} } = \frac{a \sqrt{3} }{2} \,\,\, (3) $$ Из формул (1) и (2) получаем: $$ a = 2R \bullet \sin \frac{180^{\circ}}{n} \,\,\, (4) \\ \text{ и } \\ a = 2r \bullet {\rm tg}\, \frac{180^{\circ}}{n} \,\,\, (5) $$


Пример 5. Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна 3. Найти сторону квадрата, вписанного в эту окружность.

Решение. Согласно примеру 2 $$ R = \frac{3}{ \sqrt{3} } = \sqrt{2} $$ Если a — сторона квадрата, вписанного в ту же окружность, то согласно формуле (4) $$ a = 2 \bullet \sqrt{3} \bullet \sin 45 ^{\circ} = \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{2} }{2} = \sqrt{6} $$


Обучение по геометрии

subjects/geometry/правильный_многоугольник.txt · Последние изменения: 2014/09/29 21:14 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору





закрыть[X]
Наши контакты