Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Геометрия ( Справочник )
Стереометрия ( Справочник )
Математика ( Справочник )
Русский язык ( Справочник )
Физика ( Справочник )


Математика:

Основы:
   Координатная прямая, сравнение чисел
   Рациональные числа

Числа и выражения:
   Выражения, преобразования выражений
   Степень с натуральным показателем, ее свойства
   Одночлены, многочлены
   Рациональные дроби и их свойства
   Квадратные корни
   Степень с целым показателем и ее свойства
   Корень n-я степени, степень с рациональным показателем и их свойства
   Тригонометрические выражения и тригонометрические формулы

Уравнения и неравенства:
   Уравнения с одной переменной
   Системы линейных уравнений
   Квадратные уравнения
   Неравенства с одной переменной и их системы

Функции и графики:
   Функции, их свойства
   Линейная функция (прямая пропорциональность)
   Гипербола (обратная пропорциональность)
   Квадратичная функция (парабола)
   Степенная функция
   График сложной функции

Прогрессии:
   Арифметическая прогрессия
   Геометрическая прогрессия

Текстовые задачи:
   Решение текстовых задач

Теория вероятностей:
   Теория вероятностей


Метод рационализации


Действие с дробями простыми и десятичными
Формулы сокращённого умножения
Иррациональные уравнения


Контакты

subjects:mathematics:квадратные_корни

Квадратные корни

Натуральные числа - это числа 1, 2, 3, 4, …, которые употребляются при счете. Множество натуральных чисел обозначается $\mathbb{N}$.

Целые числа - это натуральные числа, противоположные им числа и число нуль (…, - 4, - 3, - 2, - 1, О, 1, 2, 3, 4, …). Множество целых чисел обозначается $\mathbb{Z}$.

Рациональные числа - это целые и дробные числа. Множество рациональных чисел обозначается $\mathbb{Q}$.

Всякое рациональное число может быть представлено в виде дроби $\frac{m}{n} \text{, где }m \in \mathbb{Z} \,, m \in \mathbb{Q} («\in»$ - знак принадлежно-п сти некоторому множеству).

Всякое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби, и обратно: всякая бесконечная десятичная периодическая дробь есть некоторое рациональное число.

Однако рациональные числа - не все числа. Например, число, квадрат которого равен 2 (длина диагонали квадрата со стороной 1) не является рациональным.

Бесконечные десятичные непереодические дроби называют иррациональными числами.

Действительные числа - это рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел обозначают $\mathbb{R}$ .

Квадратный корень из числа а - это число, квадрат которого равен а. Например, «4» и «-4» - квадратные корни из 16, т.к. $4^2 = (-4)^2 = 16$.

Арифметический квадратный корень из числа a - это неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Арифметический квадратный корень из числа a обозначают $\sqrt{a}$.

Например, $\sqrt{25} = 5\text{, т.к. }5\geq 0$ и $5^2 = 25; \sqrt{0}=0\text{ , т.к. }0\geq 0\text{ и }0^2 = 0$.

То есть, $\sqrt{a} = b\text{ , если }b \geq 0 и b^2 = а$.

Так как квадрат любого числа - неотрицательное число, то при а<0 выражение $\sqrt{a}$ не имеет смысла.

В зависимости от a уравнение $х^2 = а$:

  1. не имеет корней при a<0;
  2. имеет единственный корень, равный нулю, при а = 0;
  3. имеет два корня $х_1 = -\sqrt{a}\text{ и }х_2 = -\sqrt{a}$, при а > 0.

Свойства арифметического квадратного корня:

  1. Если $а\geq 0\text{ и }b\geq 0\text{, то }\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b} $;
  2. Если $а\geq 0\text{ и }b\geq 0\text{, то }\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$;
  3. При любых значениях a верно равенство $\sqrt{a^2} = |a|$.

Пример 1. Найдите значение выражения $(\sqrt{36}\cdot\sqrt{0,01} - \sqrt{0,04}\cdot\sqrt{25})^2$

Решение:
$(\sqrt{36}\cdot\sqrt{0,01} - \sqrt{0,04}\cdot\sqrt{25})^2 = (6\cdot0,1 - 0,2\cdot5)^2 = (-0,4)^2 = 0,16$

Ответ: 0,16.


Пример 2. Решите уравнение $x^2 = 3^2 + \sqrt{256}$.

Решение:
$х^2 = 9 + 16 = 25$;
$x = ±\sqrt{25} = ±5$.

Ответ: ±5 .


Пример 3. Найдите значение выражения $\sqrt{32\cdot 18\cdot 81}$ .

Решение:
$\sqrt{32\cdot 18\cdot 81} = \sqrt{16\cdot 2\cdot 18 \cdot 81} = \sqrt{16}\cdot\sqrt{36}\cdot\sqrt{81} = 4\cdot 6\cdot 9 =216$

Ответ: 216.


Пример 4. Найдите значение выражения $\sqrt{\frac{8\cdot 36}{18}}$

Решение:
$\sqrt{\frac{8\cdot 36}{18}} = \sqrt{\frac{2\cdot 4\cdot 36}{2\cdot 9}} = \sqrt{\frac{4\cdot 36}{9}} = \frac{\sqrt{4\cdot 36}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{4}\cdot\sqrt{36}}{3} = \frac{2\cdot 6}{3} = 4$

Ответ: 4


Пример 5. Упростите выражение $(\frac{\sqrt{75}-x}{x^2-75}+x+5\sqrt{3}):(x^2+10\sqrt{3}\cdot x+74)$

Решение:

  1. $\frac{\sqrt{75}-x}{x^2-75}+x+5\sqrt{3} = -\frac{\sqrt{75}-x}{(x-\sqrt{75})(x+\sqrt{75})}+x+5\sqrt{3} = x+5\sqrt{3}-\frac{1}{x+5\sqrt{3}} = \frac{(x+5\sqrt{3})^2-1}{x+5\sqrt{3}} = \frac{x^2+10\sqrt{3}\cdot x+74}{x+5\sqrt{3}}$
  2. $\frac{x^2+10\sqrt{3}\cdot x+74}{x+5\sqrt{3}}:(x^2+10\sqrt{3}\cdot x+74) = \frac{x^2+10\sqrt{3}\cdot x+74}{x+5\sqrt{3}\cdot (x^2+10\sqrt{3}\cdot x+74)} = \frac{1}{x+5\sqrt{3}}$

Ответ: $\frac{1}{x+5\sqrt{3}}$

subjects/mathematics/квадратные_корни.txt · Последние изменения: 2013/02/01 20:53 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору





закрыть[X]
Наши контакты