Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Геометрия ( Справочник )
Стереометрия ( Справочник )
Математика ( Справочник )
Русский язык ( Справочник )
Физика ( Справочник )


Математика:

Основы:
   Координатная прямая, сравнение чисел
   Рациональные числа

Числа и выражения:
   Выражения, преобразования выражений
   Степень с натуральным показателем, ее свойства
   Одночлены, многочлены
   Рациональные дроби и их свойства
   Квадратные корни
   Степень с целым показателем и ее свойства
   Корень n-я степени, степень с рациональным показателем и их свойства
   Тригонометрические выражения и тригонометрические формулы

Уравнения и неравенства:
   Уравнения с одной переменной
   Системы линейных уравнений
   Квадратные уравнения
   Неравенства с одной переменной и их системы

Функции и графики:
   Функции, их свойства
   Линейная функция (прямая пропорциональность)
   Гипербола (обратная пропорциональность)
   Квадратичная функция (парабола)
   Степенная функция
   График сложной функции

Прогрессии:
   Арифметическая прогрессия
   Геометрическая прогрессия

Текстовые задачи:
   Решение текстовых задач

Теория вероятностей:
   Теория вероятностей


Метод рационализации


Действие с дробями простыми и десятичными
Формулы сокращённого умножения
Иррациональные уравнения


Контакты

subjects:mathematics:квадратные_уравнения

Квадратные уравнения

Уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где x - переменная, а, b, с – некоторые числа, причем a ≠ 0 , называется квадратным уравнением.

Квадратное уравнение с а = 1 (то есть уравнение вида $х^2 + bx + с = 0$) называется приведенным квадратным уравнением.

Неполные квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения (хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю):

  1. $b = 0\text{ и }c = 0: ax^2=0$
    • Единственный корень х = 0.
  2. $b = 0\text{ и }c \neq 0: ах^2 + с = 0$
    • Это уравнение равносильно уравнению $x^2 = -\frac{c}{d}$
    • Если $\frac{c}{a}>0\text{, то }-\frac{c}{a}<0$ и уравнение не имеет корней.
    • Если $\frac{c}{a}<0\text{, то }-\frac{c}{a}>0$ и уравнение имеет 2 корня: $x_{1,2} = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$
  3. $b \neq 0\,,\,c=0: ax^2 + bx = 0$
    • Это уравнение равносильно уравнению $x\cdot(ax + b) = 0$.
    • Оно имеет 2 корня: $x_1 = 0\text{ и }x_2 = -\frac{b}{a}\text{, где }x_1\text{ и }x_2$ - корни квадратного уравнения.

Полные квадратные уравнения

В общем виде квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$

Выражение $D = b^2 - 4ac$ называется дискриминантом квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

  1. если D<0 квадратное уравнение не имеет корней.
  2. если D=0 имеет два одинаковых корня (в некоторых учебниках, пишут - один корень): $ x = \frac{-b}{2a} $
  3. если D>0 имеет два корня $ x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} $

Полезно помнить следующую формулу разложения на множители: $ax^2 + bx + c = a(x-x_1)\cdot(x-x_2)$

Теорема Виета

Теорема Виета: Если $x_1$ и $х_2$ - корни приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ , то $x_1+x_2=-p\;;\;x_1\cdot x_2=q$.

Обратная теорема Виета: Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что $x_1+x_2=-p\;;\;x_1\cdot x_2=q$ , то эти числа являются корнями уравнения $x^2+px+q=0$.

Примеры

Пример 1. Решите уравнение $х^2 - 2х - 3 = 0$.

Решение: $$ D = (-2)^2 - 4\cdot 1\cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2 \\ x_{1,2} = \frac{-(-2)\pm\sqrt{4^2}}{2\cdot 1} = \frac{2\pm 4}{2} \\ x_1 = \frac{2-4}{2} = -1 \\ x_2 = \frac{2+4}{2} = 3 $$

Ответ: - 1; 3.


Пример 2. Найдите сумму квадратов корней уравнения $х^2 + 5х + 1 = 0$.

Решение: Пусть $x_1$ и $x_2$ - корни данного квадратного уравнения. Тогда по теореме Виета $х_1 + х_2 = - 5; х_1 \cdot х_2 = 1$. $$x_1^2+x_2^2 = x_1^2 +2x_1x_2 + x_2^2 - 2x_1x_2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = \\ = (-5)^2 - 2\cdot 1 = 25 - 2 = 23 $$

Ответ: 23.


Пример 3. Решите уравнение $$\frac{2x+1}{x-1} - \frac{x+1}{x-2} = 2$$

Решение: $$\frac{2x+1}{x-1} - \frac{x+1}{x-2} = \frac{(2x+1)(x-2) - (x+1)(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \\ = \frac{2x^2-3x-2-x^2+1}{x^2-3x+2} = \frac{x^2-3x-1}{x^-3x+2}; \\ \frac{x^2-3x-1}{x^-3x+2} = 2; \\ x^2-3x-1 = x^-3x+4; \\ x^2-3x+5=0 \\ D=9-4\cdot 5 = -11 < 0 \Rightarrow \text{ уравнение не имеет корней.} $$

Ответ: нет корней.


Пример 4 Найдите корни уравнения: $x^2+7x-18=0$

Видео-решение:

subjects/mathematics/квадратные_уравнения.txt · Последние изменения: 2013/04/23 22:04 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору





закрыть[X]
Наши контакты