Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Геометрия ( Справочник )
Стереометрия ( Справочник )
Математика ( Справочник )
Русский язык ( Справочник )
Физика ( Справочник )


Математика:

Основы:
   Координатная прямая, сравнение чисел
   Рациональные числа

Числа и выражения:
   Выражения, преобразования выражений
   Степень с натуральным показателем, ее свойства
   Одночлены, многочлены
   Рациональные дроби и их свойства
   Квадратные корни
   Степень с целым показателем и ее свойства
   Корень n-я степени, степень с рациональным показателем и их свойства
   Тригонометрические выражения и тригонометрические формулы

Уравнения и неравенства:
   Уравнения с одной переменной
   Системы линейных уравнений
   Квадратные уравнения
   Неравенства с одной переменной и их системы

Функции и графики:
   Функции, их свойства
   Линейная функция (прямая пропорциональность)
   Гипербола (обратная пропорциональность)
   Квадратичная функция (парабола)
   Степенная функция
   График сложной функции

Прогрессии:
   Арифметическая прогрессия
   Геометрическая прогрессия

Текстовые задачи:
   Решение текстовых задач

Теория вероятностей:
   Теория вероятностей


Метод рационализации


Действие с дробями простыми и десятичными
Формулы сокращённого умножения
Иррациональные уравнения


Контакты

subjects:mathematics:неравенства_с_одной_переменной_и_их_системы

Неравенства с одной переменной и их системы

Общий способ сравнения чисел

Число а больше числа b (а>b), если их разность (а - b) — положительное число; число а меньше числа b, если их разность (а - b) — отрицательное число.

Свойства числовых неравенств:

  1. Если a>b, то b<а; если a<b, то b>a;
  2. Если a<b и b<c, то a<b<c;
  3. Если a<b и $c\in\mathbb{R}$, то a+c<b+c;
  4. Если а<b и с>0, то ас<bс; если а<b и с<0, то ac>bc;
  5. Если a<b и c<d, то a+c<b+d;
  6. Если a<b и c<d и а, b, с, d - положительные числа, то ac<bd.

Решение неравенства с одной переменной - это значение переменной, при котором неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство с одной переменной означает найти все его решения или доказать, что решений нет.

Решение системы неравенств с одной переменной - это значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

Решить систему означает найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Решения неравенств с одной переменной метод интервалов

Если неравенство имеет вид $f(x) = (x - x_1)(x - x_2) \cdot \dots \cdot (x - x_n)>0 (<0)$ , то в каждом из промежутков, на которые область определения разбивается точками $x_1 x_2, \ldots, x_n$, знак функции сохраняется, а при переходе через каждую из точек $x_1, x_2, \ldots, x_n$ ее знак меняется.


Пример 1. Решите неравенства:
1.a) $\frac{4x-1}{2} - x > 3х + 2$
1.b) $\frac{4x-1}{2} - x \geq 3х + 2$..

Решение:

1.a1.b
$\frac{4x-1}{2} - x > 3х + 2$.$\frac{4x-1}{2} - x \geq 3х + 2$.
$$ \frac{4x-1}{2} - x > 3х + 2 \\ \frac{4x-1-2x}{2} > 3х + 2 \,\,\,\,|\cdot 2 \\ 2x-1 > 6x+4 \\ 2x-6x > 4+1 \\ -4x > 5 \,\,\,\,|:(-4) \\ -4 < 0 \\ 4x < -5 \,\,\,\,|:4 \\ x < -\frac{5}{4} \\ \text{или} \\ (-\infty;\;-\frac{5}{4}) $$$$ \frac{4x-1}{2} - x \geq 3х + 2 \\ \frac{4x-1-2x}{2} \geq 3х + 2 \,\,\,\,|\cdot 2 \\ 2x-1 \geq 6x+4 \\ 2x-6x \geq 4+1 \\ -4x \geq 5 \,\,\,\,|:(-4) \\ -4 < 0 \\ 4x \leq -5 \,\,\,\,|:4 \\ x \leq- \frac{5}{4} \\ \text{или} \\ (-\infty;\;-\frac{5}{4}] $$

Ответы:
1.a) Ответ: $(-\infty;\;-\frac{5}{4})$
1.b) Ответ: $(-\infty;\;-\frac{5}{4}]$


Пример 2. Решите систему неравенств $$ \left\{\begin{matrix} (2x-3)-3(x-1)\geq 1 \\ 2(x+5)-x\leq 3 \end{matrix}\right. $$

Решение: $$ \left\{\begin{matrix} (2x-3)-3(x-1)\geq 1 \\ 2(x+5)-x\leq 3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1 \\ x\leq -7 \end{matrix}\right. \text{ - нет решений.} $$ Нельзя одновременно быть меньше -7 и больше -1.

Ответ: нет решений.


Пример 3. Решите неравенство $3x^2 - x - \frac{5}{4} \geq 0$.

Решение: Разложим квадратный трехчлен $3x^2 - x - \frac{5}{4}$ на множители.

Для этого найдем его корни: $D = 1 + 4• 3• \frac{5}{4} = 16$;

$$ x = \frac{1\pm 4}{6}; \\ x_1 = -\frac{1}{2} \\ x_2 = \frac{5}{6} \\ \\ 3x^2 - x - \frac{5}{4} = 3(x+\frac{1}{2})(x-\frac{5}{6}) \\ 3x^2 - x - \frac{5}{4} \geq 0 \\ 3(x+\frac{1}{2})(x-\frac{5}{6})\geq 0 $$

Метод интервалов

Ответ: $x\in(-\infty;\;-\frac{1}{2}]\cup [\frac{5}{6};\;+\infty)$


Пример 4. Решите неравенство $\frac{x^3-x}{x^2-4}\geq 0$.

Решение: $$ \frac{x^3-x}{x^2-4}\geq 0 \\ \\ \frac{x(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)}\geq 0 $$ Находим, что смена знака происходит, при $x = 0, \pm 1, \pm 2$. При этом помним, что $x \neq \pm 2$, поскольку тогда знаменатель обратиться в ноль, а делить на ноль нельзя.

Метод интервалов

Ответ: $x\in(-2;\;-1]\cup [0;\;1]\cup (2;\;+\infty)$.


Пример 5. Под каким номером на каком рисунке верно указано решение системы неравенств? $$ \left\{\begin{matrix} 5x+13 \leq 0 \\ x+5 \geq 1 \end{matrix}\right. $$

Видео-решение:

subjects/mathematics/неравенства_с_одной_переменной_и_их_системы.txt · Последние изменения: 2013/09/14 19:46 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты