Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Геометрия ( Справочник )
Стереометрия ( Справочник )
Математика ( Справочник )
Русский язык ( Справочник )
Физика ( Справочник )


Математика:

Основы:
   Координатная прямая, сравнение чисел
   Рациональные числа

Числа и выражения:
   Выражения, преобразования выражений
   Степень с натуральным показателем, ее свойства
   Одночлены, многочлены
   Рациональные дроби и их свойства
   Квадратные корни
   Степень с целым показателем и ее свойства
   Корень n-я степени, степень с рациональным показателем и их свойства
   Тригонометрические выражения и тригонометрические формулы

Уравнения и неравенства:
   Уравнения с одной переменной
   Системы линейных уравнений
   Квадратные уравнения
   Неравенства с одной переменной и их системы

Функции и графики:
   Функции, их свойства
   Линейная функция (прямая пропорциональность)
   Гипербола (обратная пропорциональность)
   Квадратичная функция (парабола)
   Степенная функция
   График сложной функции

Прогрессии:
   Арифметическая прогрессия
   Геометрическая прогрессия

Текстовые задачи:
   Решение текстовых задач

Теория вероятностей:
   Теория вероятностей


Метод рационализации


Действие с дробями простыми и десятичными
Формулы сокращённого умножения
Иррациональные уравнения


Контакты

subjects:mathematics:теория_вероятностей_кратко

Теория вероятностей

Вероятность — числовая характеристика степени возможности появления какого-либо события в тех или иных условиях.

Классическое определение вероятности

Вероятностью события A называется отношение числа исходов m, благоприятствующих его наступлению к числу всех исходов n (несовместных, единственно возможных и равновозможных): $$P(A) = \frac{m}{n}$$.

Будем различать достоверные и невозможные события. По определению, их вероятности соответственно равны 1 и 0.

Пример 1Пример 2
На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с вишней. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней.Какова вероятность того, что случайно выбранное двухзначное число делится на 5.
Пример 3Пример 4
Проводится жеребьёвка лиги чемпионов по футболу. На первом этапе жеребьёвка 8 команд, среди которых команда Барсилоны, распределяется по 8 группам, по 1 в каждую группу. Затем, в эти же группы распределяются случайным образом ещё 8 комманд, среди которых команда Зенит. Найдите вероятность того, что Зенит окажется в одной группе с Барсилоной.Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов - первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвёртым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора окажется запланированным на последний день конференции?

Геометрическое определение вероятности

Если число исходов некоторого опыта бесконечно, то классическое определение вероятности не может служить характеристикой степени возможности наступления того или иного события. В этом случае пользуются геометрическим подходом к определению вероятности. При этом вероятность события A есть отношение меры A (длины, площади, объема) к мере U пространства элементарных событий.

Теоремы о вероятностях событий

Произведением событий A и B называется событие $C = A \cdot B$, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие A, и событие B, т. е. оба события произошли.

Два события A и B называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события A и B называются зависимыми.

Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий A и B равна произведению этих вероятностей: $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$.

Пример 1
Команда A играет с командой B и с командой C.
Найдите вероятность того, что команда А будет владеть мячом в двух матчах.

Противоположные события

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.

Если событие A может произойти с вероятностью p и опыт повторяют n раз, то вероятность, что оно наступит хотя бы один раз, есть: $1 - q^n$ , где $q = 1 - p$.

Сложение вероятностей

Суммой событий A и B называется событие $C = A + B$, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий A или B, т. е. в наступлении события A, или события B, или обоих этих событий вместе, если они совместны.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий: $P(A + B) = P(A) + P(B)$.

Условная вероятность

Пусть A и B — зависимые события. Условной вероятностью $P_A (B)$ события B называется вероятность события B, найденная в предположении, что событие A уже наступило.

Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило: $P(AB) = P(A)P_A (B)$.

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)$.

Формула Бернулли

Для многократно повторяемых опытов справедлива формула Бернулли: $P_{m,\,\,n} = C_n^{\,m} \cdot p^m \cdot q^{n - m}$ , где m — число удачных исходов среди проводимых n опытов, p — вероятность наступления благоприятного исхода в единичном опыте, $q = 1 - p$.

subjects/mathematics/теория_вероятностей_кратко.txt · Последние изменения: 2013/05/07 22:49 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору





закрыть[X]
Наши контакты