Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Геометрия ( Справочник )
Стереометрия ( Справочник )
Математика ( Справочник )
Русский язык ( Справочник )
Физика ( Справочник )


Математика:

Основы:
   Координатная прямая, сравнение чисел
   Рациональные числа

Числа и выражения:
   Выражения, преобразования выражений
   Степень с натуральным показателем, ее свойства
   Одночлены, многочлены
   Рациональные дроби и их свойства
   Квадратные корни
   Степень с целым показателем и ее свойства
   Корень n-я степени, степень с рациональным показателем и их свойства
   Тригонометрические выражения и тригонометрические формулы

Уравнения и неравенства:
   Уравнения с одной переменной
   Системы линейных уравнений
   Квадратные уравнения
   Неравенства с одной переменной и их системы

Функции и графики:
   Функции, их свойства
   Линейная функция (прямая пропорциональность)
   Гипербола (обратная пропорциональность)
   Квадратичная функция (парабола)
   Степенная функция
   График сложной функции

Прогрессии:
   Арифметическая прогрессия
   Геометрическая прогрессия

Текстовые задачи:
   Решение текстовых задач

Теория вероятностей:
   Теория вероятностей


Метод рационализации


Действие с дробями простыми и десятичными
Формулы сокращённого умножения
Иррациональные уравнения


Контакты

subjects:mathematics:геометрическая_прогрессия

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена на одно и то же число.


b1 – первый член геометрической прогрессии
q – знаменатель геометрической прогрессии (q≠0): $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$
n – число членов геометрической прогрессии
bn – n-ый член геометрической прогрессии (bn≠0)
Sn – сумма n первых членов геометрической прогрессии

  • $b_n = b_1q^{n-1};$
  • $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}\,\,\,,\,(q\neq 1);$
  • $S_n = nb_1 \,\,\,,\,(q = 1);$
  • $b_k^2 = b_{k-1}\cdot b_{k+1}\,\,\,,\,k=2,3, \dots ,n-1;$
  • $b_k\cdot b_m = b_p\cdot b_q\text{ , где }k+m=p+q;$

Если $|q|<1$, то прогрессия называется бесконечной геометрической прогрессией и ее сумма равна: $S = \frac{b_1}{1-q}$


Пример 1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если ее второй член равен - 2, а седьмой равен 64.

Решение. $$\frac{b_7}{b_2} = \frac{b_1\cdot q^6}{b_1\cdot q} = q^5 = \frac{64}{-2} = -32 \Rightarrow q = -2.$$

Ответ: -2.


Пример 2. Найти сумму семи первых членов геометрической прогрессии: 5, 10, 20, …;

Решение: Для решения данного примера необходимо было применить формулу суммы 7 первых членов геометрической прогрессии: $$ b_1 = 5; q = 2.\text{ т.к. }S_7 = \frac{b_1(1-q^7)}{1-q}\text{ , то} \\ S_7 = \frac{5\cdot(1-2^7)}{1-2} = -5(1-128) = 635. $$

Ответ: 635.


Пример 3. решите уравнение $x^2 - x = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \dots$

Решение: Правая часть — бесконечная геометрическая прогрессия с $q = -\frac{1}{3}$.

Поэтому имеем: $$ x^2-x = \frac{1}{1-(-\frac{1}{3})} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}. \\ x^2-x-\frac{3}{4}=0; \\ D = 1+4\cdot \frac{3}{4} = 4; \\ x = \frac{1\pm 2}{2};\; x_1=-\frac{1}{2};\; x_2=\frac{3}{2}. $$

Ответ: $-\frac{1}{2};\frac{3}{2}$.

Рекомендуем

subjects/mathematics/геометрическая_прогрессия.txt · Последние изменения: 2013/08/16 17:28 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору





закрыть[X]
Наши контакты