Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Геометрия ( Справочник )
Стереометрия ( Справочник )
Математика ( Справочник )
Русский язык ( Справочник )
Физика ( Справочник )


Математика:

Основы:
   Координатная прямая, сравнение чисел
   Рациональные числа

Числа и выражения:
   Выражения, преобразования выражений
   Степень с натуральным показателем, ее свойства
   Одночлены, многочлены
   Рациональные дроби и их свойства
   Квадратные корни
   Степень с целым показателем и ее свойства
   Корень n-я степени, степень с рациональным показателем и их свойства
   Тригонометрические выражения и тригонометрические формулы

Уравнения и неравенства:
   Уравнения с одной переменной
   Системы линейных уравнений
   Квадратные уравнения
   Неравенства с одной переменной и их системы

Функции и графики:
   Функции, их свойства
   Линейная функция (прямая пропорциональность)
   Гипербола (обратная пропорциональность)
   Квадратичная функция (парабола)
   Степенная функция
   График сложной функции

Прогрессии:
   Арифметическая прогрессия
   Геометрическая прогрессия

Текстовые задачи:
   Решение текстовых задач

Теория вероятностей:
   Теория вероятностей


Действие с дробями простыми и десятичными
Формулы сокращённого умножения
Иррациональные уравнения


Контакты

subjects:mathematics:свойства_степени_с_натуральным_показателем

Степень с натуральным показателем, ее свойства

Степенью некоторого числа a с натуральным показателем n (n>1) называется выражение $a^n = \underset{\text{n раз}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}}$ .

Например, $$ 5^3 = \underset{\text{3 пятёрки}}{\underbrace{5•5•5}} = 125; \\ (-2)^4 = (-2)•(-2)•(-2)•(-2) = 16 $$

  • для любого положительного числа а: $a^n>0;\;0^n = 0$.
  • для отрицательного числа а: $а^n>0$, если n - четное число и $a<0$, если n — нечетное число;
  • $а^2 \geq 0$ для любого числа а.

Свойства степени с натуральным показателем:

  • $a^1 = a$
  • $a^0 = 1$, при а ≠ 0
  • $a^{-n} = \frac{1}{a^n} \text{ и } \frac{1}{a^{-n}} = a^n$, при а ≠ 0
  • $а^{2k} \geq 0$ , где 2k – чётная степень);
  1. $a^m\cdot a^n = a^{m+n}$ — для любых чиселa a, m и n;
  2. $a^m : a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ — для любых m, n и a≠0;
  3. $(a\cdot b)^n = a^n\cdot b^n$ — для любых чисел а, b и n;
  4. $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ — для любых чисел а, n и b≠0.
  5. $(a^m)^n =a^{m\cdot n}$ — любых чисел a, m и n.

Пример 1. Найдите значение выражения: $(-2)^3 • 3^2 + 16^2$.

Решение:
Вначале выполним возведения в степень:

  1. $(-2)^3 = (-2)•(-2)•(-2) = -8$
  2. $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$
  3. $16^2 = 16\cdot 16 = 256$

Теперь найдем значение выражения:
$(-2)^3 • 3^2 + 16^2 = (-8)•9 + 256 = 256 - 72 = 184$

Ответ: 184.


Пример 2. Упростите выражение $2x^2\cdot x^3 - х^7 : х^2$.

Решение: Пользуясь свойствами степеней, имеем:
$2x^2\cdot x^3 - x^7:x^2 = 2x^{2 + 3}- x^{7-2} = 2x^5 - x^5 = x^5$

Ответ: х5.


Пример 3. Упростите выражение $((x^2y)^3)^4$.

Решение: Пользуясь свойствами степеней, имеем:
$((x^2y)^3)^4 = (x^2y)^{3\cdot 4} = (x^2y)^{12} = (x^2)^{12} \cdot y^{12} = x^{2\cdot 12}\cdot y^{12} = x^{24}y^{12} $

Ответ: x24y12.


Пример 4. Найдите значение выражения: $5\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^2 - 16\cdot\frac{1}{16}=?$

Видео-решение.


Пример 5. Сократите дробь: $$ \frac{18^{n+3}}{ 3^{2n+5} \cdot 2^{n-2} } $$

Видео-решение.

subjects/mathematics/свойства_степени_с_натуральным_показателем.txt · Последние изменения: 2013/04/26 17:48 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору





закрыть[X]
Наши контакты