Задачи бывают совершенно разными и принцип их решения зависит от типа задачи:

• Задачи на движение
  • Баланс пути
  • Баланс времени
    1. Задача на баланс времени на YouTube
• Задачи на проценты
  1. Задача на проценты на YouTube
  2. Задача на проценты
  3. Задача на проценты
• Задачи на производительность
• Задачи на смеси
• и т.д.
  1. Прочие текстовые задачи

Остановимся на нескольких стандартных примерах текстовых задач.

Пример 1. Из пункта А в пункт В, расположенный в 24 км от А, одновременно отправились велосипедист и пешеход. Велосипедист прибыл в пункт В на 4 ч. раньше пешехода. Известно, что если бы велосипедист ехал с меньшей на 4 км/ч, скоростью, то на путь из А в В он затратил бы вдвое меньше времени, чем пешеход. Найдите скорость пешехода.

Решение:
Обозначим:
x – скорость велосипедиста
y – скорость пешехода
х> 0 и у>0; $$ S = V \cdot t \,\Rightarrow\, t = \frac {S}{V};$$
Разница во времени = 4 часа. Составляем баланс времени для обоих случаев и объединяем в систему: $$ \left\{\begin{matrix} \frac{24}{y} - \frac{24}{x} = 4 \\ \frac{24}{x-4} = \frac{1}{2}\cdot{24}{y} \end{matrix}\right. ; \left\{\begin{matrix} 24x-24y=4xy \\ 2y=x-4 \end{matrix}\right. ; \left\{\begin{matrix} 6x-6y=xy \\ x=2y+4 \end{matrix}\right. ; \\ \text{Решаем систему методом подстановки} \\ 6(2y+4)-6y=(2y+4)y; \\ 12y+24-6y=2y^2+4y; \\ 2y^2-2y-24=0; \\ y^2-y-12=0; \\ y_{1,2} = \frac{1\pm\sqrt{1+48}}{2} = \frac{1\pm 7}{2}; \\ y_1 = \frac{1-7}{2} = -3\text{ - отбрасываем } \\ \text{ (по условию задачи, скорость не может быть отрицательной)} \\ y_2 = 4; \\ \text{Подставляем значение y в } x=2y+4\text{ и находим x: } x_2 = 12; $$
Скорость велосипедиста = x = 12 км/ч.
Скорость пешехода = y = 4 км/ч.

Ответ: 4 км/ч.

Пример 2. 60 деталей первый рабочий изготавливает на 3 ч. быстрее, чем второй. За сколько часов второй рабочий изготовит 90 деталей, если, работая вместе, они изготавливают за 1 ч. 30 деталей.

Решение:

х> 0 и у>0; $$ \left\{\begin{matrix} \frac{60}{x}+3=\frac{60}{y} \\ x+y=30 \end{matrix}\right. ; \left\{\begin{matrix} 60(x-y)=3xy \\ x=30-y \end{matrix}\right. ; \left\{\begin{matrix} 20(x-y)=xy \\ x=30-y \end{matrix}\right. \\ 20(30-2y)=y(30-y); \\ 600-40y=30y+y^2=0; \\ y^2-704+600=0; \\ y_{1,2}=\frac{35\pm\sqrt{225-600}}{1}=36\pm 25; \\ y_1=60; x_1=-30; \text{ - отбрасываем!} \\ y_2 =10; x_2=20; \\ \frac{90}{10}=9\text{ч.} $$

Ответ: 9 ч.

Пример 3. Вкладчик сначала снял со своего счета в Сбербанке $\frac{1}{5}$ своих денег, потом $\frac{5}{16}$ оставшихся и еще 999 рублей.
После этого у него на Сбербанке осталось $\frac{1}{4}$ всех денег. Каким был первоначальный вклад?

Решение: Пусть первоначальный вклад был х рублей. Тогда в первый раз вкладчик снял $\frac{x}{5}$ руб., после чего осталось $x-\frac{x}{5}=\frac{4x}{5}$ во второй раз он снял $\frac{5}{16}\cdot \frac{4}{5}x+999 = (\frac{1}{4}x+999)$ руб. После чего у него осталось $\frac{1}{4}$x руб. Составим и решим уравнение: $$ x-\frac{x}{5}-(\frac{1}{4}x+999)=\frac{1}{4}x; \\ (1-\frac{1}{5}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4})x=999; \\ \frac{3}{10}x=999; \\ x=3330. $$

Ответ: 3330 рублей.

Пример 4. Двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр, а квадрат этой суммы в 2,25 раза больше самого числа. \\Найдите это число.

Решение: $$ \overline{ab} = 10a + b, a\in\mathbb{N}, b\in\{0;\mathbb{N}\}. \\ \left\{\begin{matrix} 10a+b=4(a+b) \\ (a+b)^2=2,25(10a+b) \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=2a \\ (a+b)^2=2,25\cdot(10a+b) \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=2a \\ (3a)^2=2,25\cdot 12a \end{matrix}\right. \\ 9a^2 = 27a \Rightarrow a = 3 (т.к. a \neq 0), b = 6. $$

Ответ: 36.

Пример 5. Из 40 т железной руды выплавляют 20 т стали, содержащей 6% примесей. Каков процент примесей в руде?

Решение:

1. $\frac{20\cdot 6\%}{100\%}=1,2$ т —- примеси в стали;
2. 40 - 20; 20 т – примеси в руде;
3. $\frac{21,2}{40}\cdot 100\% = \frac{212}{4} = 53\%$ – примеси в руде.

Ответ: 53%.