Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Геометрия ( Справочник )
Стереометрия ( Справочник )
Математика ( Справочник )
Русский язык ( Справочник )
Физика ( Справочник )


Математика:

Основы:
   Координатная прямая, сравнение чисел
   Рациональные числа

Числа и выражения:
   Выражения, преобразования выражений
   Степень с натуральным показателем, ее свойства
   Одночлены, многочлены
   Рациональные дроби и их свойства
   Квадратные корни
   Степень с целым показателем и ее свойства
   Корень n-я степени, степень с рациональным показателем и их свойства
   Тригонометрические выражения и тригонометрические формулы

Уравнения и неравенства:
   Уравнения с одной переменной
   Системы линейных уравнений
   Квадратные уравнения
   Неравенства с одной переменной и их системы

Функции и графики:
   Функции, их свойства
   Линейная функция (прямая пропорциональность)
   Гипербола (обратная пропорциональность)
   Квадратичная функция (парабола)
   Степенная функция
   График сложной функции

Прогрессии:
   Арифметическая прогрессия
   Геометрическая прогрессия

Текстовые задачи:
   Решение текстовых задач

Теория вероятностей:
   Теория вероятностей


Метод рационализации Нахождение множества значений функции


Действие с дробями простыми и десятичными
Формулы сокращённого умножения
Иррациональные уравнения


Контакты

subjects:mathematics:множество_значений_функции

Нахождение множества значений функции

Обозначения

  • D(f) — те значения, которые может принимать аргумент, т.е. область определения функции.
  • E(f) — те значения, которые может принимать функция, т.е. множество значений функции.

Способы нахождения областей значений функций.

  1. последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
  2. метод оценок/границ;
  3. использование свойств непрерывности и монотонности функции;
  4. использование производной;
  5. использование наибольшего и наименьшего значений функции;
  6. графический метод;
  7. метод введения параметра;
  8. метод обратной функции.

Рассмотрим некоторые из них.

Используя производную

Общий подход к нахождению множества значений непрерывной функции f(x) заключается в нахождении наибольшего и наименьшего значения функции f(x) в области ее определения (или в доказательстве того, что одно из них или оба не существуют).

В случае, если нужно найти множества значений функции на отрезке:

  1. найти производную данной функции f '(x);
  2. найти критические точки функции f(x) и выбрать те из них, которые принадлежат данному отрезку;
  3. вычислить значения функции на концах отрезка и в выбранных критических точках;
  4. среди найденных значений выбрать наименьшее и наибольшее значения;
  5. Множество значений функции заключить между этими значениями.

Если областью определения функции является интервал, то используется та же схема, но вместо значений на концах используются пределы функции при стремлении аргумента к концам интервала. Значения пределов из не входят в множество значений.

Метод границ/оценок

Для нахождения множества значений функции сначала находят множество значений аргумента, а затем отыскивают соответствующие наименьше и наибольшее значения функции функции. Используя неравенства - определяют границы.

Суть состоит в оценке непрерывной функции снизу и сверху и в доказательстве достижения функцией нижней и верхней границы оценок. При этом совпадение множества значений функции с промежутком от нижней границы оценки до верхней обуславливается непрерывностью функции и отсутствием у неё других значений.

Свойства непрерывной функции

Другой вариант заключается в преобразовании функции в непрерывную монотонную, тогда используя свойства неравенств оценивают множество значений вновь полученной функции.

Последовательное нахождение значений сложных аргументов функции

Основан на последовательном отыскании множества значений промежуточных функций, из которых составлена функция

Области значений основных элементарных функций

Функция Множество значений
$y = kx+ b$ E(y) = (-∞;+∞)
$y = x^{2n}$ E(y) = [0;+∞)
$y = x^{2n +1}$ E(y) = (-∞;+∞)
$y = k/x$ E(y) = (-∞;0)u(0;+∞)
$y = x^{\frac{1}{2n}}$ E(y) = [0;+∞)
$y = x^{\frac{1}{2n+1}}$ E(y) = (-∞;+∞)
$y = a^{x}$ E(y) = (0;+∞)
$y = \log_{a}{x}$ E(y) = (-∞;+∞)
$y = \sin{x}$ E(y) = [-1;1]
$y = \cos{x}$ E(y) = [-1;1]
$y = {\rm tg}\, x$ E(y) = (-∞;+∞)
$y = {\rm ctg}\, x$ E(y) = (-∞;+∞)
$y = \arcsin{x}$ E(y) = [-π/2; π/2]
$y = \arccos{x}$ E(y) = [0; π]
$y = {\rm arctg}\, x$ E(y) = (-π/2; π/2)
$y = {\rm arcctg}\, x$ E(y) = (0; π)

Примеры

Найдите множество значений функции:

Используя производную

$f(x)=\sqrt{9-x^{2}}$

НЕ используя производную

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

$f(x)=\sin^{2}{x}+\cos{x}-\frac{1}{2}$

Используя метод границ/оценок

$y=5-4\sin{x}$

$y=\cos{7x}+5\cos{x}$

$f(x)=1+2\sin^{2}{x}$

$f(x)=3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x}$

$f(x)=2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}}$

$f(x)=\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x}$

$y=\sin{x}+\cos{x}$

Используя непрерывную функцию

$y=11-\sqrt{10x-x^{2}-25}$

Иные

$y=\log_{0,5}{(4-2\cdot 3^{x}-9^{x})}$

$y=\sqrt{25-x^{2}}$

Использованная литература

Статьи:

  • Область значения функций в задачах ЕГЭ, Минюк Ирина Борисовна
  • Советы по нахождению множества значений функции, Беляева И., Федорова С.
  • Нахождение множества значений функции
  • Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах, И.И.Мельников, И.Н.Сергеев

Рекомендуем

subjects/mathematics/множество_значений_функции.txt · Последние изменения: 2018/09/19 21:14 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты