Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Геометрия ( Справочник )
Стереометрия ( Справочник )
Математика ( Справочник )
Русский язык ( Справочник )
Физика ( Справочник )


Геометрия:

Введение в геометрию

Отрезок, луч, угол
   Отрезок
   Луч и полуплоскость
   Угол
   Измерение отрезков
   Измерение углов
   Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Треугольники
   Треугольник и его элементы
   Признаки равенства треугольников
   Свойства равнобедренного треугольника. Третий признак равенства треугольников.

Основные геометрические построения
   Окружность
   Основные задачи на построение

Параллельные прямые
   Определение параллельных прямых
   Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых

Сумма углов треугольника
   Теорема о сумме углов треугольника
   Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника
   Расстояние от точки до прямой
   Признаки равенства прямоугольных треугольников

Четырехугольники
   Определение четырехугольника
   Параллелограмм. Расстояние между параллельными прямыми
   Диагонали и признаки параллелограмма
   Прямоугольник
   Ромб
   Квадрат
   Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
   Трапеция
   Центральная и осевая симметрии
   Пропорциональные отрезки

Тригонометрические функции острого угла. Теорема Пифагора
   Тригонометрические функции острого угла. Определения
   Теорема Пифагора
   Основные тригонометрические тождества
   Значения тригонометрических функций некоторых углов
   Зависимости между сторонами и углами прямоугольного треугольника
   Решение прямоугольных треугольников

Прямоугольные координаты
   Координатная ось
   Прямоугольная система координат на плоскости
   Расстояние между точками
   Координаты середины отрезка
   Определение тригонометрических функций для любого угла от 0 до 180°

Векторы
   Понятие вектора
   Сложение и вычитание векторов
   Умножение вектора на число
   Координаты вектора
   Скалярное произведение векторов

Подобие
   Определение подобных треугольников
   Признаки подобия треугольников
   Подобие произвольных фигур

Окружность
   Касательная к окружности
   Центральные и вписанные углы
   Вписанная и описанная окружности
   Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

Решение треугольников
   Теорема синусов и теорема косинусов
   Решение треугольников

Многоугольники. Длина окружности
   Ломаная
   Многоугольник
   Правильный многоугольник
   Длина окружности
   Длина дуги окружности. Радианная мера угла

Площади плоских фигур
   Понятие площади
   Площадь прямоугольника
   Площадь параллелограмма
   Площадь треугольника и ромба
   Площадь трапеции
   Площадь правильного многоугольника
   Площадь круга и кругового сектора


Контакты

subjects:geometry:пропорциональные_отрезки

Пропорциональные отрезки

Отношением отрезков АВ и CD называется отношение их длин, т.е. $\frac{AB}{CD}$ . Говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам А1В1 и C1D1 если $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CD}{C_1D_1} $$ Например, отрезки АВ и CD, длины которых равны 2 см и 1 см, пропорциональны отрезкам А1В1 и C1D1 , длины которых равны 3 см и 1,5 см. В самом деле, $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CD}{C_1D_1} = \frac{2}{3} $$ Понятие пропорциональности вводится и для большего числа отрезков. Так, например, три отрезка АВ, CD и EF пропорциональны трем отрезкам А1В1 , C1D1 и E1F1 если $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CD}{C_1D_1} = \frac{EF}{E_1F_1} $$

Теорема 1. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Доказательство. Пусть стороны угла А пересекаются параллельными прямыми в точках В, С и В1, С1 соответственно (рис.1).

Рис.1

Теоремой утверждается, что $$ \frac{AC_1}{AC} = \frac{AB_1}{AB} \ \ \ (1)$$ Пусть существует такой отрезок длины ε, который укладывается целое число раз и на отрезке АС, и на отрезке АС1.
Пусть $$ АС = n\varepsilon \ , \ АС_1 = m\varepsilon \ (n > m) . \ \ \ (2)$$

Разобьем отрезок АС на п равных частей (длины ε). При этом точка С1 будет одной из точек деления. Проведем через точки деления прямые, параллельные прямой ВС. По теореме Фалеса эти прямые разбивают отрезок АВ на равные отрезки некоторой длины ε1. Имеем: $$ AB = n\varepsilon _1 \ , \ AB_1 = n\varepsilon _1 $$ Отсюда и из (2) $$ \frac{AB_1}{AB} = \frac{m}{n} \ и \ \frac{AC_1}{AC} = \frac{m}{n} $$ Значит, $$ \frac{AB_1}{AB} = \frac{AC_1}{AC} $$ Однако не для любых отрезков АС и АС существует такой отрезок ε, который в каждом из отрезков АС и АС1 укладывается целое число раз без остатка. Но и в этом случае можно доказать, что равенство (1) выполняется. Теорема доказана.


Обучение по геометрии

Пример 1. Даны отрезки a, b, c. Построить отрезок $$ x = \frac{bc}{a} $$

Решение. Строим любой неразвернутый угол с вершиной О (рис.2).

Строим любой неразвернутый угол с вершиной О

Рис.2

Откладываем на одной стороне угла отрезки ОА = а и ОВ = b , а на другой стороне отрезок ОС = с. Соединяем точки А и С прямой и проводим параллельную ей прямую BD через точку В. Отрезок OD = х.

Действительно, по теореме о пропорциональных отрезках $$ \frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} \ , \ \ откуда \ \ OD = \frac{OB*OC}{OA} = \frac{bc}{a} $$

Примечание. Построенный отрезок х называется четвертым пропорциональным. Такое название связано с тем, что он является четвертым членом пропорции а : b = с : х.


Обучение по геометрии

subjects/geometry/пропорциональные_отрезки.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:03 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты