Измерение углов основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения. Обычно за единицу измерения углов принимают градус — угол, равный 1/180 части развернутого угла.

Транспортир

Рис.1

Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле, называется градусной мерой угла. Для измерения углов используется транспортир (рис.1).

∠AOB = 150°

Рис.2

На рисунке 2 изображен угол АОВ, градусная мера которого равна 150°. Обычно говорят кратко: «Угол АОВ равен 150°» — и пишут: Z АОВ = 150°.

1/60 часть градуса называется минутой, а 1/60 часть минуты — секундой. Минуты обозначают знаком «′», а секунды — знаком «″». Например, угол в 68 градусов, 32 минуты и 27 секунд обозначается так: 68°32′27″.

Если два угла равны, то градус и его части укладываются в этих углах одинаковое число раз, т. е. равные углы имеют равные градусные меры. Если же один угол меньше другого, то в нем градус (или его часть) укладывается меньшее число раз, чем в другом угле, т. е. меньший угол имеет меньшую градусную меру.

Так как градус составляет 1/180: часть развернутого угла, то развернутый угол равен 180°. Неразвернутый угол меньше 180°, так как он меньше развернутого.

∠AOC = 40°, ∠COB= 120°, ∠AOB = 160°

Рис.3

На рисунке 3 изображены лучи с началом в точке О. Луч ОС делит угол АОВ на два угла: АОС и СОВ. Мы видим, что ∠ АОС = 40°, ∠ СОВ = 120°, ∠ АОВ = 160° .

Таким образом, ∠ АОС + ∠ COB = ∠ АОВ .

Ясно, что и во всех других случаях, когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

Рис.4

Угол называется:

• прямым, если он равен 90° (рис.4, а);
• острым, если он меньше 90°, т. е. меньше прямого угла (рис.4, б);
• тупым, если он больше 90°, но меньше 180°, т. е. больше прямого, но меньше развернутого угла (рис.4, в).

Пример 1. Луч l — биссектриса угла hk, равного 50°. Найти градусные меры углов hi и Ik.

Решение. Так как l — биссектриса угла hk, то градусные меры каждого из углов hl и lk равны. Обозначим градусную меру одного из них через х. Тогда 2х = 50°, откуда х = 25°. Итак, градусные меры каждого из углов hl и lk равны 25° и 25°.

Пример 2. Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Найти угол АОС, если ∠ АОВ = 155° и угол АОС на 15° больше угла СОВ.

Решение. Обозначим градусную меру угла АОС через х. Тогда градусная мера угла СОВ будет х - 15°. Теперь согласно условию х + х - 15° = 155°, или 2х = 170° , откуда х = 85°.

Пример 3. Между сторонами угла cd, равного 120°, проходит луч а. Найти углы canad, если их градусные меры относятся как 4:2.

Решение. Луч а проходит между сторонами угла cd, значит, ∠ са + ∠ ad = ∠ cd.
Так как градусные меры ∠ca и ∠ad относятся как 4 : 2, то $$∠ ca = \frac{120°}{6}•4 = 80° ,\space ∠ ad = \frac{120°}{6}•2 = 40°.$$