Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Геометрия ( Справочник )
Стереометрия ( Справочник )
Математика ( Справочник )
Русский язык ( Справочник )
Физика ( Справочник )


Геометрия:

Введение в геометрию

Отрезок, луч, угол
   Отрезок
   Луч и полуплоскость
   Угол
   Измерение отрезков
   Измерение углов
   Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Треугольники
   Треугольник и его элементы
   Признаки равенства треугольников
   Свойства равнобедренного треугольника. Третий признак равенства треугольников.

Основные геометрические построения
   Окружность
   Основные задачи на построение

Параллельные прямые
   Определение параллельных прямых
   Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых

Сумма углов треугольника
   Теорема о сумме углов треугольника
   Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника
   Расстояние от точки до прямой
   Признаки равенства прямоугольных треугольников

Четырехугольники
   Определение четырехугольника
   Параллелограмм. Расстояние между параллельными прямыми
   Диагонали и признаки параллелограмма
   Прямоугольник
   Ромб
   Квадрат
   Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
   Трапеция
   Центральная и осевая симметрии
   Пропорциональные отрезки

Тригонометрические функции острого угла. Теорема Пифагора
   Тригонометрические функции острого угла. Определения
   Теорема Пифагора
   Основные тригонометрические тождества
   Значения тригонометрических функций некоторых углов
   Зависимости между сторонами и углами прямоугольного треугольника
   Решение прямоугольных треугольников

Прямоугольные координаты
   Координатная ось
   Прямоугольная система координат на плоскости
   Расстояние между точками
   Координаты середины отрезка
   Определение тригонометрических функций для любого угла от 0 до 180°

Векторы
   Понятие вектора
   Сложение и вычитание векторов
   Умножение вектора на число
   Координаты вектора
   Скалярное произведение векторов

Подобие
   Определение подобных треугольников
   Признаки подобия треугольников
   Подобие произвольных фигур

Окружность
   Касательная к окружности
   Центральные и вписанные углы
   Вписанная и описанная окружности
   Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

Решение треугольников
   Теорема синусов и теорема косинусов
   Решение треугольников

Многоугольники. Длина окружности
   Ломаная
   Многоугольник
   Правильный многоугольник
   Длина окружности
   Длина дуги окружности. Радианная мера угла

Площади плоских фигур
   Понятие площади
   Площадь прямоугольника
   Площадь параллелограмма
   Площадь треугольника и ромба
   Площадь трапеции
   Площадь правильного многоугольника
   Площадь круга и кругового сектора


Контакты

subjects:geometry:площадь_треугольника_и_ромба

Площадь треугольника и ромба

Теорема 1. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Доказательство. Треугольник ABC (рис.1) дополним до параллелограмма ABCD (как указано на рис.1), площадь которого равна AB•h.

Площадь треугольника и ромба

Рис.1

Но площадь S треугольника ABC составляет половину площади параллелограмма ABCD (ибо треугольники ABC и CDA равны), следовательно,

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов (так как один катет можно взять за основание, другой — за высоту).

Следствие 2. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.


Обучение по геометрии

Пример 1. Найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 8 см.

Решение. Обозначив один из катетов данного треугольника через х, согласно теореме Пифагора будем иметь: $$ x^2 + x^2 = 64\text{, или }x^2 = 32 $$ откуда $\frac{x^2}{2} = 16$ и, значит, на основании следствия 1 искомая площадь равна 16 см2.


Пример 2. В равнобедренном треугольнике основание равно 30 м, а высота, опущенная на основание, равна 20 м. Найти высоту, опущенную на боковую сторону.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2.

Площадь треугольника

Рис.2

Тогда в треугольнике ABC основание АС = 30 м, высота BD = 20 м, следовательно, можно найти площадь этого треугольника: $$ S = \frac{1}{2}AC\bullet BD \\ S = \frac{20 \bullet 30}{2} $$ Площадь этого треугольника можно найти и по-другому: $S = \frac{1}{2} BC•AE$ , откуда $AE = \frac{2S}{BC}$ (ВС можно найти из прямоугольного треугольника ВВС по теореме Пифагора), или $$ AE = \frac{ 20 \bullet 30 }{ \sqrt{ 20^2 + \left ( \frac{30}{2} \right )^2 } } $$ , т.е. АЕ = 24 (м).


Пример 3. Вычислить площадь ромба, диагонали которого равны 6 см и 3,5 см.

Решение. Согласно следствию искомая площадь равна S = 6•3,5:2 = 10,5(см2).


Пример 4. Найти площадь ромба, если его высота 10 м, а острый угол 30°.

Решение. Пусть ABCD — ромб, где ∠ BAD = 30°, BE ⊥ AD и BE = 10 м (рис.3).

Ромб

Рис.3

Из прямоугольного $\triangle АВЕ$ найдем АВ:
$BE = \frac{1}{2}АВ$ (как катет, лежащий против угла в 30°) и, значит, АВ = 2•ВЕ = 2 • 10 = 20 (м).

Так как АВ = AD, то площадь ромба S = BE•AD = 200 (м2).


Обучение по геометрии

subjects/geometry/площадь_треугольника_и_ромба.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:23 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты