Теорема 1. ( Об эквивалентности пар на плоскости ). Две пары, лежащие в одной плоскости и имеющие равные по величине и по знаку моменты, эквивалентны.

Для доказательства рассмотрим две пары $(\vec{P}, \vec{P'})\text{ и }(\vec{F}, \vec{F'})$, лежащие в одной плоскости и имеющие равные по величине и по знаку моменты (Рис.1).

Рис.1

Продолжим линии действия сил пар до их пересечения в точках С и С'.

На основании следствия из аксиомы 3 действие сил $\vec{P}\text{ и }\vec{P'}$ не изменится, если эти силы перенести в эти точки, то есть $(\vec{P}, \vec{P'}) \sim (\vec{P_1}, \vec{P_1'})$.

Воспользовавшись аксиомой 4, заменим силу $\vec{P_1}$ составляющими $\vec{S}\text{ и }\vec{T}$, направленными, соответственно, вдоль линии действия силы $\vec{F}$, и по прямой СС'. Аналогично поступим с силой $\vec{Р1'}$, заменив ее составляющими $\vec{S'}\text{ и }\vec{T'}$.

По построению $\vec{T} = - \vec{T'}$, поэтому согласно аксиоме 2: $(\vec{T}, \vec{T'}) \sim 0$ и в соответствии с аксиомой 3 эту систему можно исключить.

Таким образом,

$$(\vec{P}, \vec{P'}) \sim (\vec{P_1}, \vec{P_1'}) \sim ((\vec{S}, \vec{T}),(\vec{S'}, \vec{T'})) \sim ((\vec{S}, \vec{S'}),(\vec{T}, \vec{T'})) \sim (\vec{S}, \vec{S'})$$,

, то есть пары сил $(\vec{P}, \vec{P'})\text{ и }(\vec{S}, \vec{S'})$ эквивалентны.

Остается доказать эквивалентность пар $(\vec{S}, \vec{S'})\text{ и }(\vec{F}, \vec{F'}). Поскольку эти пары имеют равные плечи, они будут эквивалентны, если будут равны их моменты.

По условию теоремы моменты пар $(\vec{P}, \vec{P'})\text{ и }(\vec{F}, \vec{F'})$ равны. Таким образом:

$$M(\vec{F}, \vec{F'}) = M(\vec{P}, \vec{P'}) = M(\vec{P_1}, \vec{P_1'}) = M_C(\vec{P_1})$$

В силу теоремы Вариньона:

$$M_C(\vec{P_1}) = M_C(\vec{S}) + M_C(\vec{T}) = M_C(\vec{S})$$

, поскольку линия действия силы $\vec{T}$ проходит через точку С и ее момент равен нулю. Итак:

$$M(\vec{F}, \vec{F'}) = M_C(\vec{S}) = M(\vec{S}, \vec{S'})$$

, а значит пары $(\vec{S}, \vec{S'})\text{ и }(\vec{F}, \vec{F'})$ будут эквивалентны.

Таким образом: $(\vec{P}, \vec{P'}) \sim (\vec{S}, \vec{S'}) \sim (\vec{F}, \vec{F'}), и теорема доказана.

Рассмотрим следствия этой теоремы, которые также можно рассматривать как свойства пар сил в дополнение к свойствам, рассмотренным в «Пара сил и ее свойства».

Следствия:

1. Действие пары сил на ТТ не меняется при ее перемещении в своей плоскости.
2. Действие пары сил на ТТ не изменится, если одновременно изменить плечо и силы пары, сохранив неизменным ее момент.

Рассмотрим в частности пару, представленную силами $\pm P=\frac{M}{2\varepsilon}$ , приложенными к балке в точках $x=x_M\pm\varepsilon$ (Рис.2а). Плечо такой пары, равно $2\varepsilon$ , а ее момент равен M. При изменении ( будут меняться плечо и силы пары, но величина ее момента останется равной первоначальному значению.

Определение 1. Моментом называется система, полученная из пары сил $\pm P=\frac{M}{2\varepsilon}$ , при $\varepsilon\to 0$.

Таким образом, термин «момент» имеет в ТМ два значения:

1. момент как произведение силы на ее плечо и
2. момент как система, полученная из пары сил в соответствии с определением 1.

Отметим, что при таком предельном переходе плечо пары стремится к нулю, а силы пары – к бесконечности. Полученный в соответствии с определением 1 момент фактически является таким же самостоятельным объектом в механике, как и сила, и в дальнейшем мы будем обозначать его так, как показано на рис.2б.

Рис.2

Если для абсолютно твердого тела последний момент эквивалентен паре сил, показанной на рис.2а , то в механике деформируемого тела действие такого сосредоточенного момента, приложенного в точке х=хМ , существенно отличается от действия пары сил.

Теорема 2. ( Об эквивалентности пар в пространстве ). Две пары, лежащие в параллельных плоскостях и имеющие равные по величине и по знаку моменты, эквивалентны.

Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующая:

Лемма. Равнодействующая двух параллельных и равных по модулю сил равна их сумме, а ее линия действия проходит посредине между точками их приложения (Рис.3).

Рис.3

Для доказательства леммы достаточно к системе двух сил $(\vec{P_1}, \vec{P_2})$ , приложенных соответственно в точках A и B, о которых идет речь в теореме, добавить уравновешенную систему сил $(\vec{T_1},\vec{T_2})$ , а затем воспользоваться аксиомой параллелограмма:

$$(\vec{P_1}, \vec{P_2}) \sim ((\vec{P_1}, \vec{P_2}), (\vec{T_1}, \vec{T_2})) \sim ((\vec{P_1}, \vec{T_1}), (\vec{P_2}, \vec{T_2})) \sim (\vec{R_1}, \vec{R_2}) \sim (\vec{R_{12}})$$

, где $\vec{P_1} = \vec{P_2} = \vec{P},\,\, \vec{R_{12}} = 2\cdot P$ , а AС = BC .

Переходя к доказательству теоремы, рассмотрим две пары сил $(\vec{P_1}, \vec{P_2})\text{ и }(\vec{F_1}, \vec{F_2})$, имеющие равные моменты и лежащие в параллельных плоскостях П₁ и П₂ соответственно (Рис.4).

Рис.4

Построим в плоскости П₂ отрезок CD, равный и параллельный отрезку АВ и приложим в точках C и D две системы уравновешенных сил: $(\vec{S_1}, \vec{S_2}) \sim 0\text{ и }(\vec{T_1}, \vec{T_2}) \sim 0$ , выбрав силы $\vec{S}$ и $\vec{T}$ равными по модулю и параллельными силам $\vec{P}$.

На основании аксиом 2, 3 и последней леммы:

$$ (\vec{P_1}, \vec{P_2}) \sim ((\vec{P_1}, \vec{P_2}), (\vec{S_1}, \vec{S_2}), (\vec{T_1}, \vec{T_2})) \sim ((\vec{P_1}, \vec{T_1}), (\vec{P_2}, \vec{S_2}), (\vec{S_1}, \vec{T_2})) \sim \\ \sim ((\vec{R_1}, \vec{R_2}), (\vec{S_1}, \vec{T_2})) \sim (\vec{S_1}, T_2) $$

, поскольку $\vec{R_1} \sim (\vec{P_1}, \vec{T_1})$ и $\vec{R_2} \sim (\vec{P_2}, \vec{S_2})$ также образуют уравновешенную систему сил, которую можно исключить.

Таким образом, мы получили две пары сил: $(\vec{S_1}, \vec{T_2})$ и $(\vec{F_1}, \vec{F_2})$ , которые лежат в одной плоскости и имеют равные по величине и по знаку моменты. В силу предыдущей теоремы 1 они будут эквивалентны, откуда следует, что

$$(\vec{P_1}, \vec{P_2}) \sim (\vec{S_1}, \vec{T_2}) \sim (\vec{F_1}, F_2)$$

Теорема доказана.

Следствие. Действие пары сил на ТТ не изменится при ее перемещении в параллельную плоскость, расположенную в пределах этого тела.

• В силу этого следствия вектор-момент пары сил в пределах этого тела можно считать свободным.