Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:stereometry:объемы_и_поверхности_тел

Объемы и поверхности тел

Определения и свойства

Объем тела — число, показывающее, во сколько раз данное тело больше другого тела, принятого за единицу измерения, или какую часть тела составляет данное тело от единичного.

Единица измерения объема — объем куба с единичными линейными размерами.

Основные свойства объёма:

  • Каждое тело имеет определённый (положительный) объём
  • Равные тела имеют равные объёмы
  • Если тело состоит из нескольких частей, то объём его равен сумме объёмов всех частей
  • Объём куба с ребром a равен a3

Объём тела [основные понятия]

Основные формулы

Основные формулы объёмов и поверхностей трёхмерных тел.

Обозначения

  • V – объем;
  • S – площадь основания;
  • Sбок – площадь боковой поверхности;
  • Р – площадь полной поверхности;
  • h – высота;
  • a, b, c – измерения прямоугольного параллелепипеда;
  • A – апофема правильной пирамиды и правильной усеченной пирамиды;
  • l – образующая конуса;
  • p – периметр или окружность основания;
  • r – радиус основания;
  • d – диаметр основания;
  • R – радиус шара;
  • D – диаметр шара.

Призма и параллелепипед

Призма, прямая и наклонная; Параллелепипед: $$ V=Sh $$

Прямая призма: $$S_{бок}=ph$$

Параллелепипед прямоугольный: $$ V = abc \\ Р = 2(ab + bc + ас) $$

Куб: $$ V=a^3 \\ P = 6a^2 $$

Пирамида

Пирамида, правильная и неправильная: $$ V=\frac{1}{3} Sh$$

Пирамида правильная: $$ S_{бок}=\frac{1}{2}pA $$

Усеченная пирамида, правильная и неправильная: $$ V=\frac{1}{3}(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2)h $$

Усеченная пирамида правильная: $$ S_{бок}=\frac{1}{2}(p_1+p_2)A $$

Цилиндр

Цилиндр круговой (прямой и наклонный): $$ V=Sh=\pi r^2h=\frac{1}{4}\pi d^2 h $$

Цилиндр круглый: $$ S_{бок} = 2\pi rh = \pi dh $$

Конус

Конус круговой (круглый и наклонный): $$ V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{12}\pi d^2 h $$

Конус круглый: $$ S_{бок}=\frac{1}{2}pl=\pi rl = \frac{1}{2}\pi dl $$

Усеченный конус круговой (круглый и наклонный): $$ V=\frac{1}{3}\pi h(r_1^2 + r_1r_2+ r_2^2)= \frac{1}{12}\pi h(d_1^2 + d_1d_2+ d_2^2) $$

Усеченный конус круглый: $$ S_{бок}=\pi (r_1+r_2)l=\frac{1}{2}\pi (d_1+d_2)l $$

Сфера (Шар)

Шар: $$ V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{1}{6}\pi D^3 \\ P=4\pi r^2=\pi D^2 $$

Полушарие: $$ V=\frac{2}{3}\pi R^3=\frac{1}{12}\pi D^3 \\ S=\pi R^2=\frac{1}{4}\pi D^2 \\ S_{бок}=2\pi R^2=\frac{1}{2}\pi D^2 \\ P=3\pi R^2=3\pi D^2 $$

Шаровой сегмент: $$ V=\pi h^2(R-\frac{1}{3}h)=\frac{\pi h}{6}(h^2+3r^2) \\ S_{бок}=2\pi Rh=\pi(r^2+h^2) \\ P=\pi (2r^2+h^2) $$

Шаровой слой: $$ V=\frac{1}{6}\pi h^3+\frac{1}{2}\pi(r_1^2+r_2^2)h \\ S_{бок}=2\pi Rh $$

Шаровой сектор: $$ V=\frac{2}{3}\pi Rºh'$$ (h' — высота сегмента, содержащегося в секторе).

Полый шар: $$ V=\frac{4}{3}\pi (R_1^3 - R_2^3)=\frac{\pi}{6}(D_1^3 - D_2^3) \\ P = 4\pi (R_1^2 + R_2^2) = \pi(D_1^2+D_2^2) $$ (R1 и R2 — радиусы внешней и внутренней шаровых поверхностей).

Рекомендуем

Обучение по стереометрии

Объемы и поверхности тел. Пример 1

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A,B,C,A1,B1,C1

правильный шестиугольник призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 ,

площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3

Рекомендуем

subjects/stereometry/объемы_и_поверхности_тел.txt · Последние изменения: 2016/12/23 22:10 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору





закрыть[X]
Наши контакты