Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Дифференциальные уравнения (диффуры)
Теоретическая механика: статика, кинематика, динамика

Теория вероятностей и математическая статистика FIXME
Строительная механика для строительных специальностей FIXME
Матанализ. Дифференциальное и интегральное исчисление FIXME
economics


Решение дифференциальных уравнений:

Дифференциальные уравнения (основные понятия)
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
   • Решение задачи Коши (диффуры)
   • Общее решение дифференциального уравнения
Однородные дифференциальные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Интегрирующий множитель
   • Понижение порядка дифференциального уравнения
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
   • Линейное неоднородное дифференциальное уравнение
Геометрические и физические задачи


Контакты

subjects:diffury:уравнения_с_разделяющимися_переменными

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Уравнения вида $\varphi_1(x)\Psi_1(y)dx=\varphi_2(x)\Psi_2(y)dy$ , в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от X и только от Y называется уравнением с разделяющими переменными. Путём деления на произведение $\varphi_1(y)\varphi_2(x)$ оно приводится к уравнению с разделёнными переменными:

$$ \frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}dx = \frac{\Psi_2(y)}{\Psi_1(y)}dy $$

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

$$ \int \frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}dx = \int \frac{\Psi_2(y)}{\Psi_1(y)}dy = C $$

Примеры

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения: ${xy}'-y=1$

Решение дифференциального уравнения:


Пример 2. Найти частное решение уравнения $(1+e^{x})y{y}'=e^{x}$, удовлетворяющее начальному условию $y|_{x=0}=1$ (задача Коши)

Решение. Имеем $(1+e^{x})y\frac{dy}{dx}=e^{x}$

Разделяя переменные, получаем: $$ y\;dy = \frac{e^{x}}{1+e^{x}}dx $$

Интегрируя, найдём общий интеграл: $$ \int y\;dy = \int \frac{e^{x}}{1+e^{x}}dx \\ \frac{y^{2}}{2}=\ln{(1+e^{x})} +C \qquad (1) $$

(1) – общее решение дифференциального уравнения

Полагая X=0 и Y=1, будем иметь $\frac{1}{2}=\ln{2}+C$ , откуда $C=\frac{1}{2} -\ln{2}$

Подставляя в (1) найденное значение C, получаем частное (решение задачи Коши) $$ y^{2} = 1 +\ln{\left ( \frac{1+e^{x}}{2} \right )^{2}} \;; \\ y= \pm\sqrt{ 1 +\ln{\left ( \frac{1+e^{x}}{2} \right )^{2}} } $$

Из начального $u=\frac{y}{x}$ условия следует, что $y>0 ( y|_{x=0}=1 >0)$ поэтому перед корнем берём знак плюс. Итак, искомое частное решение $$ y=\sqrt{ 1 +\ln{\left ( \frac{1+e^{x}}{2} \right )^{2}} } $$


Пример 3.

Решение дифференциального уравнения:


Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения: $$ \frac{dy}{dx}=x^{3} $$

Решение дифференциального уравнения:


Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения: $$ \frac{dy}{dx}=2\frac{y}{x} $$

Решение дифференциального уравнения:


Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения: $$ \frac{dy}{dx}=-xy $$

Решение дифференциального уравнения:


Пример 7. $$ {y}'={\rm tg}\,x\cdot{\rm tg}\,y $$

Решение:


Пример 8.

Решение дифференциального уравнения:


Полный список тем по ДУ

subjects/diffury/уравнения_с_разделяющимися_переменными.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:25 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты