Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Дифференциальные уравнения (диффуры)
Теоретическая механика: статика, кинематика, динамика

Теория вероятностей и математическая статистика FIXME
Строительная механика для строительных специальностей FIXME
Матанализ. Дифференциальное и интегральное исчисление FIXME
economics


Решение дифференциальных уравнений:

Дифференциальные уравнения (основные понятия)
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
   • Решение задачи Коши (диффуры)
   • Общее решение дифференциального уравнения
Однородные дифференциальные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Интегрирующий множитель
   • Понижение порядка дифференциального уравнения
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
   • Линейное неоднородное дифференциальное уравнение
Геометрические и физические задачи


Контакты

subjects:diffury:линейные_уравнения_первого_порядка

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением 1-ого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной $$ \frac{dy}{dx} +p(x)y =Q(x) \qquad (1)$$

Решение линейного уравнения ищем в виде $y=u(x)v(x)$

Подставляя в (1), после преобразования получаем $$ u \left ( \frac{dv}{dx} + p(x)v \right ) +V\frac{du}{dx} =Q(x) $$

Выберем v такой чтобы $\frac{dv}{dx} + p(x)v =0$ найдём u(x) , и следовательно получим решение $y=uv$


Пример 1

Решить дифференциальное уравнение: ${xy}'-2y=4x^{4}-x$

Решение дифференциального уравнения:


Пример 2. Решить задачу Коши $$ {y}'-y=-e^{-x} \,,\, y|_{x=0}=2 $$

Решение. Это линейное уравнение. Ищем общее решение в виде $y=u(x)v(x)$ , имеем ${y}'={u}'v+u{v}'$ . Подставляя выражения для y и ${y}'$ в данное уравнение, будем иметь $$ u({v}'-v)+{u}'v=-e^{-x} \\ u \left ( \frac{dv}{dx} -v \right ) +\frac{du}{dx}v =e^{-x} \\ \frac{dv}{dx}-v=0 \;;\; \frac{dv}{v}=dx \;;\; \ln{|v|}=x \;;\; v=e^{x} $$

Для определения u имеем уравнение $$ {u}'v=-e^{-x} \\ \frac{du}{dx}e^{x}=-e^{-x} \;;\; \frac{du}{dx}=-e^{-2x} \;;\; u=\frac{ e^{-2x} }{2} +c \\ y=uv=e^{x} \left( \frac{ e^{-2x} }{2} +c \right ) =\frac{ e^{-x} }{2} +Ce^{x} $$

Найдём C: $2=\frac{1}{2}+c \,,\, c=\frac{3}{2}$;

Итак, решением поставленной задачи Коши будет $$ y=\frac{1}{2} \left ( \frac{1}{e^{x}} +3e^{x} \right ) $$


Полный список тем по ДУ

subjects/diffury/линейные_уравнения_первого_порядка.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:27 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты