Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Дифференциальные уравнения (диффуры)
Теоретическая механика: статика, кинематика, динамика

Теория вероятностей и математическая статистика FIXME
Строительная механика для строительных специальностей FIXME
Матанализ. Дифференциальное и интегральное исчисление FIXME
economics


Решение дифференциальных уравнений:

Дифференциальные уравнения (основные понятия)
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
   • Решение задачи Коши (диффуры)
   • Общее решение дифференциального уравнения
Однородные дифференциальные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Интегрирующий множитель
   • Понижение порядка дифференциального уравнения
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
   • Линейное неоднородное дифференциальное уравнение
Геометрические и физические задачи


Контакты

subjects:diffury:уравнения_приводящиеся_к_однородным

Уравнения, приводящиеся к однородным

Рассмотрим уравнения вида $$ \frac{dy}{dx} = f \left ( \frac{ax+by+c}{a{_1}x+b{_1}y+c{_1}} \right ) $$

$a,b,c,a{_1},b{_1},c{_1}$ — постоянные

Если $c=c{_1}=0$ , то уравнение является однородным. Если хотя бы одно из чисел $c,c{_1}$ отлично от нуля, то следует различать два случая.

Случай 1

$$ 1) \qquad \Delta = \begin{vmatrix} ab \\ a_{1}b_{1} \end{vmatrix} \neq 0 $$

Вводя новые переменные $\xi$ и $\eta$ по формулам $x=\xi + h \,,\, y = \eta +k$ ( Здесь $\xi \text{ и } \eta$ – новые переменные, а h и k – константы. $dy=d\eta \;;\; dx=d\xi$ , следовательно $\frac{dy}{dx}=\frac{d\eta}{d\xi}$ ) , приведем уравнение к виду: $$ \frac{d\eta}{d\xi} = f \left ( \frac{ a\xi+b\eta+ah+bk+c }{ a_{1}\xi+b_{1}\eta+a_{1}h+b_{1}k+c_{1} } \right ) $$ Выбирая h и k как решение системы линейных уравнений $$ \left\{\begin{matrix} ah+bk+c=0 \\ a_{1}h+b_{1}k+c_{1}=0 \end{matrix}\right. $$

получаем однородное уравнение $$ \frac{d\eta}{d\xi} = f \left ( \frac{ a\xi+b\eta }{ a_{1}\xi+b_{1}\eta } \right ) $$ найдя его общий интеграл и заменив $\xi=x-h \,,\, \eta=y-k$ , получаем общий интеграл уравнения.

Случай 2

$$ 2) \qquad \Delta = \begin{vmatrix} ab \\ a_{1}b_{1} \end{vmatrix} = 0 $$ и уравнение имеет вид $$ \frac{dy}{dx} = f \left ( \frac{ ax+by+c }{ k(ax+by+c{_1}) } \right ) $$ , где k – константа.

Подстановка $z=ax+by$ приводит его к уравнению с разделяющими переменными.

Примеры решений дифференциальных уравнений, приводящихся к однородным

Пример 1. Решить уравнение $(x+y+1)dx +(2x+2y-1)dy=0$ . Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение. Система линейных алгебраических уравнений $$ \left\{\begin{matrix} x+y+1=0 \\ 2x+2y-1=0 \end{matrix}\right. $$ несовместна. В том случае метод, применённый в предыдущем примере, не подходит. Для интегрирования уравнения применяем подстановку $ x+y=z \,\Rightarrow\, y=z-x \,\Rightarrow\, dy=dz-dx $ . Уравнение примет вид $ (2-z)dx +(2x-1)dz =0 $

Разделяя, переменные получаем $$ dx-\frac{2z-1}{z-2} =0 \\ x-2z-3\ln{|z-2|} =C \\ x+2y+\ln{|x+y-2|}=C $$


Полный список тем по ДУ

subjects/diffury/уравнения_приводящиеся_к_однородным.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:27 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору





закрыть[X]
Наши контакты