Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Дифференциальные уравнения (диффуры)
Теоретическая механика: статика, кинематика, динамика

Теория вероятностей и математическая статистика FIXME
Строительная механика для строительных специальностей FIXME
Матанализ. Дифференциальное и интегральное исчисление FIXME
economics


Решение дифференциальных уравнений:

Дифференциальные уравнения (основные понятия)
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
   • Решение задачи Коши (диффуры)
   • Общее решение дифференциального уравнения
Однородные дифференциальные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Интегрирующий множитель
   • Понижение порядка дифференциального уравнения
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
   • Линейное неоднородное дифференциальное уравнение
Геометрические и физические задачи


Контакты

subjects:diffury:неоднородные_линейные_уравнения_2_порядка

Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Неоднородные линейные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами - это уравнение вида $$ {y}''-{py}'-qy=f{x} \qquad (1)$$

Таблица видов частных решений

Сводная таблица видов частных решений для различных видов правых частей.

Правая часть дифференциальных уравненийКорни характеристического уравненияВиды частного решения
1 $$ P_{m}(x) $$1. Число 0 не является корнем характеристического уравнения.$$ \widetilde{P}_{m}(x) $$
2. Число 0 – корень характеристического уравнения кратности S.$$ x^{S}\widetilde{P}_{m}(x) $$
2 $$ P_{m}(x)e^{\alpha x} $$1. Число $\alpha$ не является корнем характеристического уравнения.$$ \widetilde{P}_{m}(x)e^{\alpha x} $$
2. Число $\alpha$ является корнем характеристического уравнения кратности S.$$ x^{S}\widetilde{P}_{m}(x)e^{\alpha x} $$
3 $$ P_{n}(x)\cos{\beta x} + Q_{m}\sin{\beta x} $$1. Число $\pm i\beta$ не является корнем характеристического уравнения.$$ \widetilde{P}_{m}(x)\cos{\beta x} + \widetilde{Q}_{m}(x)\sin{\beta x} $$
2. Число $\pm i\beta$ является корнем характеристического уравнения кратности S.$$ x^{S}( \widetilde{P}_{m}(x)\cos{\beta x} + \widetilde{Q}_{m}(x)\sin{\beta x} ) $$
4 $$ e^{\alpha x}[ P_{n}(x)\cos{\beta x}] + Q_{m}(x)\sin{\beta x} ] $$1. Число $\alpha\pm i\beta$ не является корнем характеристического уравнения.$$ e^{\alpha x}[ \widetilde{P}_{m}(x)\cos{\beta x} + \widetilde{Q}_{m}(x)\sin{\beta x} ] $$
2. Число $\alpha\pm i\beta$ является корнем характеристического уравнения кратности S.$$ e^{\alpha x}[ \widetilde{P}_{m}(x)\cos{\beta x} + \widetilde{Q}_{m}(x)\sin{\beta x} ]x^{S} $$
$ \widetilde{P}_{m}\text{ и }\widetilde{Q}_{m} $ – многочлены старшей степени m (т.е. m>n)

Примеры

Пример 1. $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}}+\frac{dy}{dx}-2y=3x-1$$ Решение:


Пример 2.

Решить уравнение $$ {Y}''+{y}'=4x^{2}e^{x} $$

Решение. Характеристическое уравнение $$ k^{2}+k=0 \\ k(k+1)=0 \;;\; k_{1}=0 \;;\; k_{2}=-1 $$

Общее решение однородных уравнений имеет вид: $y=C_{1}+C_{2}e^{-x}$

Правая часть уравнения $ f(x)=4x^{2}e^{x} \,,\, \alpha=1 $ , т.к. $\alpha=1$ не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения имеет вид (см. табл. Случай 2/1) $$ \overline{y}=( A_{1}x^{2}+A_{2}x+A_{3} )e^{x} $$

Подставляя его в исходное уравнение и сокращая обе части уравнения на $e^{x}$ , будем иметь $$ 2A_{1}x^{2} + (6A_{1}+2A_{2})x + 2A_{1} + 3A_{2} + 2A_{3} = 4x^{2} $$

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства, получаем линейную систему уравнений для нахождения коэффициентов $A_{1} \,,\, A_{2} \text{ и } A_{3}$: $$ \left\{\begin{matrix} 2A_{1}=4 &;& A_{1}=2 \\ 6A_{1}+2A_{2}=0 &;& A_{2}=-6 \\ 2A_{1}+3A_{2}+2A_{3}=0 &;& A_{3}=7 \end{matrix}\right. $$ $$ \overline{y}=( 2x^{2}-6x+7 )e^{x} $$

Общее решение данного уравнения $$ y(x)=C_{1}+C_{2}e^{-x}+( 2x^{2}-6x+7 )e^{x} $$


Пример 3.

Найти общее решение уравнения $$ {y}''+{10y}'+25y=4e^{-5x} $$

Решение: характеристическое уравнение $k^{2}+10k+25=0$ имеет двукратный корень $k_{1}=k_{2}=-5$, поэтому $y=( C_{1}+C_{2}x )e^{-5x}$ . Т.к. $к=-5$ является корнем характеристического уравнения кратности $S=2$, то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде ( см. табл., случай 2(2) ): $$ \overline{y}=Ax^{2}e^{-5x} \;;\; {\overline{y}}'=A( 2x-5x^{2} )e^{-5x} \;;\; {\overline{y}}''=A( 2-20x+25x^{2} )e^{-5x} $$

Подставляя выражения для $ y \,,\, {y}' \,,\, {y}'' $ в исходное уравнение, получаем $ 2Ae^{-5x}=4e^{-5x} \,,\, A=2 \,,\, y=2x^{2}e^{-5x} $ . Общее решение данного уравнения $$ y=( C_{1}+C_{2}x )e^{-5x} + 2x^{2}e^{-5x} $$


Пример 4

Найти частное решение уравнения (решить задачу Коши) $$ {y}''+{y}'-2y=\cos{x}-3\sin{x} $$ Начальные условия: $ y(0)=1 \;;\; {y}'(0)=2 \;; $

Решение:

Характеристическое уравнение: $ k^{2}+k-2=0 $;

Корни характеристического уравнения: $ k_{1}=1 \;;\; k_{2}=-2 $;

Общее решение однородного уравнения: $ y=C_{1}e^{-2x}+C_{2}e^{x} $

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде (см.таблицу): $$ \overline{y}=A\cos{x} + B\sin{x} \;;\; \\ \overline{{y}'}=-A\sin{x}+B\cos{x} \;;\; \\ {\overline{y}}''=-A\cos{x}-B\sin{x} $$

Подставляя выражения для $ y \,,\, {y}' \,,\, {y}'' $ в исходное уравнение, получаем: $(B-3A)\cos{x}+(-3B-A)\sin{x}=\cos{x}–3\sin{x}$ $$ \left\{\begin{matrix} B-3A=1 \\ &\Rightarrow &A=0 &, &B=1 &; \\ -(3B+A)=-3 \end{matrix}\right. $$ Тогда общее решение заданного уравнения будет иметь вид: $$ y=C_{1}e^{-2x}+C_{2}e^{x}+\sin{x} $$

Найдем $С_1$ и $С_2$ , используя начальные условия ( $ y(0)=1 \;;\; {y}'(0)=2 $ ): $$ \left\{\begin{matrix} C_{1}e^{0}-C_{2}e^{0}+\sin{0}=1 \\ 2C_{1}e^{0}+C_{2}e^{0}+\cos{0}=2 \end{matrix}\right. \\ \left\{ \begin{matrix} C_{1}+C_{2}=1 \\ -2C_{1}+c_{2}=1 \end{matrix}\right. \\ C_{1}=0 \;;\; C_{2}=1 \;;\; $$ Задача Коши решена: $y=e^{x}+\sin{x}$


Пример 5.

Решить уравнение: $$ {y}'''+{y}''-{2y}'=x-e^{x} $$

Решение: $$ k^{3}+k^{2}-2k=0 \;;\; k_{1}=0 \;;\; k_{2}=1 \;;\; k_{3}=-2 \;;\; y=C_{1}+C_{2}e^{x}+C_{3}e^{-2x} $$

т.к. $k_{1}=0$ – простой корень характеристического уравнения, т.е. S_{1}=1 , то частное решение ищем в виде: $$ \overline{y}=x(Ax+B)+Cxe^{x} \;;\; \\ {\overline{y}}'=2Ax+B+Ce^{x}+Cxe^{x} \;;\; \\ {\overline{y}}''=2A+2Ce^{x}+Cxe^{x} \;;\; \\ {\overline{y}}'''= 3Ce^{x}+Cxe^{x} \\ \\ -4Ax+( 2A-3B )+3Ce^{x}=x-e^{x} \;;\; A=-\frac{1}{4} \;;\; B=-\frac{1}{4} \;;\; C=-\frac{1}{3} $$ Ответ: $$ y=C_{1}+C_{2}e^{x}+C_{3}e^{-2x}-\frac{1}{4}x( x+1 )-\frac{1}{3}xe^{x} $$


Полный список тем по ДУ

subjects/diffury/неоднородные_линейные_уравнения_2_порядка.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:30 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору





закрыть[X]
Наши контакты