Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Дифференциальные уравнения (диффуры)
Теоретическая механика: статика, кинематика, динамика

Теория вероятностей и математическая статистика FIXME
Строительная механика для строительных специальностей FIXME
Матанализ. Дифференциальное и интегральное исчисление FIXME
economics


Решение дифференциальных уравнений:

Дифференциальные уравнения (основные понятия)
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
   • Решение задачи Коши (диффуры)
   • Общее решение дифференциального уравнения
Однородные дифференциальные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Интегрирующий множитель
   • Понижение порядка дифференциального уравнения
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
   • Линейное неоднородное дифференциальное уравнение
Геометрические и физические задачи


Контакты

subjects:diffury:однородные_уравнения

Однородные дифференциальные уравнения

Функция f(x,y) называется однородной функцией своих аргументов измерения n, если справедливо тождество $$ f(tx,ty)=t^{n}f(x,y) $$

При n=0 имеем функцию нулевого измерения.

Дифференциальное уравнение вида ${y}'=\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ называется однородным относительно x и y, если f(x,y) есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения.

Однородное уравнение всегда можно представить в виде $\frac{dy}{dx}=\varphi\left (\frac{y}{x} \right )$

Вводим новую переменную $u=\frac{y}{x}$ , тогда $y=u\cdot x \;;\; \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}\cdot x+u\cdot 1$

В результате, получаем уравнение с разделяющимися переменными $$ x\frac{du}{dx} = \varphi(u)-u $$


Пример 1

Найти общее решение дифференциального уравнения: ${xy}'=x+2y$

Решение дифференциального уравнения:


Пример 2. Решить уравнение (найти общее решение дифференциального уравнения) $$ {xy}' = \sqrt{x^{2} - y^{2}} + y $$

Решение. Запишем уравнение в виде $$ {y}' = \sqrt{ 1 - \left ( \frac{y}{x} \right )^{2} } + \frac{y}{x} $$

так что данное уравнение оказывается однородным относительно x и y.

Положим $u=\frac{y}{x}$ или $y=u\cdot x$ , тогда ${y}' = {xu}' +u$ . Подставляя в уравнение выражение для $y$ и ${y}'$ , получаем $$ x\frac{du}{dx} = \sqrt{1-u^{2}} $$

Разделяем переменные: $$ \frac{du}{ \sqrt{1-u^{2}} } = \frac{dx}{x} ;\;\; \int \frac{du}{ \sqrt{1-u^{2}} } = \int \frac{dx}{x} \\ \arcsin{u} = \ln{|x|} + \ln{C_1} ;\;\; \arcsin{u} = \ln{C_{1}|x|} $$

, т.к. $C_{1}|x| = \pm C_{1}x$ , то, обозначая $\pm C_{1} = C$ , получаем $\arcsin{u} = \ln{Cx}$ Заменяя $u$ на $\frac{y}{x}$ , будем иметь общий интеграл $\arcsin{\frac{y}{x}} = \ln{Cx} ,\;\; y = x\sin{\ln{Cx}}$


Пример 3 $$(x^{2}+2xy)\;dx+xy\;dy=0$$

Решение:


Полный список тем по ДУ

subjects/diffury/однородные_уравнения.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:26 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору





закрыть[X]
Наши контакты