Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Дифференциальные уравнения (диффуры)
Теоретическая механика: статика, кинематика, динамика

Теория вероятностей и математическая статистика FIXME
Строительная механика для строительных специальностей FIXME
Матанализ. Дифференциальное и интегральное исчисление FIXME
economics


Решение дифференциальных уравнений:

Дифференциальные уравнения (основные понятия)
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
   • Решение задачи Коши (диффуры)
   • Общее решение дифференциального уравнения
Однородные дифференциальные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Интегрирующий множитель
   • Понижение порядка дифференциального уравнения
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
   • Линейное неоднородное дифференциальное уравнение
Геометрические и физические задачи


Контакты

subjects:diffury:понижение_порядка_ду

Понижение порядка дифференциального уравнения

Аналогично интегрирующему множителюможно проинтегрировать уравнение $$ y^{n}=f(x,y^{(n-1)}) $$ , где (n-1) – порядок производной функции y.

Например: Уравнение вида $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} =f \left ( y, \frac{dy}{dx} \right ) \qquad (2) $$ не содержит явным образом независимой переменной x.

Для его решения снова положим $$ \frac{dy}{dx}=p \qquad (3) $$ но теперь будем считать p функцией от y (а не от x, как прежде). Тогда $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} =\frac{dp}{dx} =\frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} =\frac{dp}{dy} \cdot p $$

Подставляя выражение $\frac{dy}{dp}$ и $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ в уравнение (2), получим уравнение 1-ого порядка $p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$

Интегрируя его, найдём p , как функцию y и производной постоянной $C_{1}$ :

Подставляя это значение в соотношение (3), получим $$ \frac{dy}{dx}=p(y,C_{1}) \\ \frac{dy}{p(y,C_{1})}=dx $$

Интегрируя это уравнение, получим общий интеграл исходного уравнения $$ \Phi(x,y,C_{1},C_{2}=0 $$

Примеры

Пример 1

Найти общий интеграл уравнения: $F(x,{y}',{y}'')=0$

Решение:


Пример 2

Найти общий интеграл уравнения: $F(y,{y}',{y}'')=0$

Решение:


Пример 3

  1. Найти частное решение, которое удовлетворяет начальному условию: $$\left\{\begin{matrix} y(0)=1 \\ {y}'(0)=1 \end{matrix}\right.$$

Решение:


Пример 4.

Найти общий интеграл уравнения $$ x\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dy}{dx} $$

Решение. Пусть $\frac{dy}{dx}=p$ , тогда $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dp}{dx}$ $$ x\frac{dp}{dx}=p \\ \frac{dp}{p}=\frac{dx}{x} \\ \ln{|p|}=\ln{|x|}+\ln{|C_{1}|} \\ p=C_{1}x $$

Возвратимся к переменной y: ${y}'=C_{1}x$ $$ y= \int C_{1}xdx= C_{1}\frac{x^{2}}{2}+C_{2} $$


Полный список тем по ДУ

subjects/diffury/понижение_порядка_ду.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:29 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору





закрыть[X]
Наши контакты