В некоторых случаях, когда уравнение $$M(x,y)dx +N(x,y)dy =0 \qquad (1)$$ не является уравнением в полных дифференциалах, удаётся подобрать функцию $\mu (x,y)$ , после умножения на которую, левая часть (1) превращается в полный дифференциал $du=\mu Mdx+\mu Ndx $

Такая функция $\mu(x,y)$ называется интегрирующим множителем из определения интегрирующего множителя $$ \frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\frac{\partial}{\partial x}(\mu N)$$ ( см.уравнение в полных дифференциалах (2) ) или $ N\frac{\partial\mu}{\partial y}-M\frac{\partial\mu}{\partial y}= \left ( \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} \right ) \mu $

$$ N\frac{\partial\ln{\mu}}{\partial x} - M\frac{\partial\ln{\mu}}{\partial y} = \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} \qquad (2) $$

Некоторые частные случаи, когда удаётся легко найти интегрирующий множитель.

Если $\mu=\mu(x)$, то $\frac{\partial\mu}{\partial y}=0$ и уравнение (2) примет вид $$ \frac{\partial\ln{\mu}}{\partial x} =\frac{ \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} }{N} \qquad (3) $$ Для существования интегрирующего множителя, не зависящего от y , необходимо и достаточно, чтобы правая часть (3) была функцией только от x.

Пример 1. Решить уравнения $ (x+y^{2})dx-xydy=0 $

Решение. $M=x+y^{2} \,,\, N=-2xy$ имеем $\frac{ \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} }{N} = \frac{2y+2y}{-2xy} = -\frac{2}{x}$ , следовательно $\frac{\partial\ln{\mu}}{\partial x} = -\frac{2}{x}$ , $\ln{\mu} = -2\ln{|x|}$ , $\mu = \frac{1}{x^{2}}$

Уравнение $\frac{x+y^{2}}{x^{2}} dx- \frac{2xy}{x^{2}}dy =0$ в полных дифференциалах.

Его можно представить в виде $\frac{dx}{x} - \frac{2xydy - y^{2}dx}{x^{2}} =0$ , откуда $d\left ( \ln{|x|} -\frac{y^{2}}{x} \right ) =0$ и общий интеграл данного уравнения $x=Ce^{y^{2}}{x}$

Аналогично, если $\left ( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right )\frac{1}{M}$ есть функция только y, то уравнение (1) имеет интегрирующий множитель $\mu=\mu(y)$ , зависящий только от y.

Интеграл уравнения (1) $$ y=\int p(x,C_{1})dx+C_{2} $$

Пример 2. Решить уравнение $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{1}{a} \sqrt{ 1+ \left ( \frac{dy}{dx} \right )^{2} } $$

Решение. Положим $\frac{dy}{dx}=p$ , тогда $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{dp}{dx} \\ \frac{dp}{dx}=\frac{1}{a}\sqrt{ 1+p^{2} } \\ \frac{dp}{ \sqrt{1+p^{2}} } = \frac{1}{a}dx \\ \ln{ p+\sqrt{ 1+p^{2} } }=\frac{x}{a}+c \\ p=sh\left ( \frac{x}{a}+C_{1} \right ) $$

т.к. $p=\frac{dy}{dx}$ , интеграл последнее соотношение, получим уравнение цепной линии $$ y=ach{ \left ( \frac{x}{a} +C_{1} \right ) } +C_{2} $$

Найдём частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (решим задачу Коши) $$ y|_{x=0}=a \;;\; {y}'|_{x=0}=0 \\ C_{1}=0 \;;\; C_{2}=0 \;;\; y=ach{ \frac{x}{a} } $$

Пример 3

$$ P(x,y)\;dx+Q(x,y)\;dy=0 \\ y\cdot dx-(x+x^{2}y)dy=0 $$