В некоторых случаях, когда уравнение $$M(x,y)dx +N(x,y)dy =0 \qquad (1)$$ не является уравнением в полных дифференциалах, удаётся подобрать функцию $\mu (x,y)$ , после умножения на которую, левая часть (1) превращается в полный дифференциал $du=\mu Mdx+\mu Ndx $

Такая функция $\mu(x,y)$ называется интегрирующим множителем из определения интегрирующего множителя $ \frac{d}{dy}(\mu M)=\frac{d}{dx}(\mu N)$ или $ N\frac{d\mu}{dy}= \left ( \frac{dM}{dy}-\frac{dN}{dx} \right ) \mu $

$$ N\frac{d\ln{\mu}}{dx} - M\frac{d\ln{\mu}}{dy} = \frac{dM}{dy}-\frac{dN}{dx} \qquad (2) $$

Некоторые частные случаи, когда удаётся легко найти интегрирующий множитель.

Если $\mu=\mu(x)$, то $\frac{d\mu}{dy}=0$ и уравнение (2) примет вид $$ \frac{d\ln{\mu}}{dx} =\frac{ \frac{dM}{dy}-\frac{dN}{dx} }{N} \qquad (3) $$ Для существования интегрирующего множителя, не зависящего от y , необходимо и достаточно, чтобы правая часть (3) была функцией только от x.

Пример 1. Решить уравнения $ (x+y^{2})dx-xydy=0 $

Решение. $M=x+y^{2} \,,\, N=-2xy$ имеем $\frac{ \frac{dM}{dy}-\frac{dN}{dx} }{N} = \frac{2y+2y}{-2xy} = -\frac{2}{x}$ , следовательно $\frac{d\ln{\mu}}{dx} = -\frac{2}{x}$ , $\ln{\mu} = -2\ln{|x|}$ , $\mu = \frac{1}{x^{2}}$

Уравнение $\frac{x+y^{2}}{x^{2}} dx- \frac{2xy}{x^{2}}dy =0$ в полных дифференциалах.

Его можно представить в виде $\frac{dx}{x} - \frac{2xydy - y^{2}dx}{x^{2}} =0$ , откуда $d\left ( \ln{|x|} -\frac{y^{2}}{x} \right ) =0$ и общий интеграл данного уравнения $x=Ce^{y^{2}}{x}$

Аналогично, если $\left ( \frac{dN}{dx} - \frac{dM}{dy} \right )\frac{1}{M}$ есть функция только y, то уравнение (1) имеет интегрирующий множитель $\mu=\mu(y)$ , зависящий только от y.

Интеграл уравнения (1) $$ y=\int p(x,C_{1})dx+C_{2} $$

Пример 2. Решить уравнение $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{1}{a} \sqrt{ 1+ \left ( \frac{dy}{dx} \right )^{2} } $$

Решение. Положим $\frac{dy}{dx}=p$ , тогда $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{dp}{dx} \\ \frac{dp}{dx}=\frac{1}{a}\sqrt{ 1+p^{2} } \\ \frac{dp}{ \sqrt{1+p^{2}} } = \frac{1}{a}dx \\ \ln{ p+\sqrt{ 1+p^{2} } }=\frac{x}{a}+c \\ p=sh\left ( \frac{x}{a}+C_{1} \right ) $$

т.к. $p=\frac{dy}{dx}$ , интеграл последнее соотношение, получим уравнение цепной линии $$ y=ach{ \left ( \frac{x}{a} +C_{1} \right ) } +C_{2} $$

Найдём частное решение, удовлетворяющее начальным условиям $$ y|_{x=0}=a \;;\; {y}'|_{x=0}=0 \\ C_{1}=0 \;;\; C_{2}=0 \;;\; y=ach{ \frac{x}{a} } $$

Замечание. Аналогично можно проинтегрировать уравнение $$ y^{n}=f(x,y^{n-1}) $$

2. Уравнение вида $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} =f \left ( y, \frac{dy}{dx} \right ) \qquad (2) $$ не содержит явным образом независимой переменной x.

Для его решения снова положим $$ \frac{dy}{dx}=p \qquad (3) $$ но теперь будем считать p функцией от y (а не от x, как прежде). Тогда $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} =\frac{dp}{dx} =\frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} =\frac{dp}{dy} \cdot p $$

Подставляя выражение $\frac{dy}{dp}$ и $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ в уравнение (2), получим уравнение 1-ого порядка $p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$

Интегрируя его, найдём p , как функцию y и производной постоянной $C_{1}$ :

Подставляя это значение в соотношение (3), получим $$ \frac{dy}{dx}=p(y,C_{1}) \\ \frac{dy}{p(y,C_{1})}=dx $$

Интегрируя это уравнение, получим общий интеграл исходного уравнения $$ \Phi(x,y,C_{1},C_{2}=0 $$

Пример 3. Найти общий интеграл уравнения $$ x\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dy}{dx} $$

Решение. Пусть $\frac{dy}{dx}=p$ , тогда $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dp}{dx}$ $$ x\frac{dp}{dx}=p \\ \frac{dp}{p}=\frac{dx}{x} \\ \ln{|p|}=\ln{|x|}+\ln{|C_{1}|} \\ p=C_{1}x $$

Возвратимся к переменной y: ${y}'=C_{1}x$ $$ y= \int C_{1}xdx= C_{1}\frac{x^{2}}{2}+C_{2} $$