Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-ого порядка $$ {y}''+{py}'+qy=0 \qquad (1) $$

p, q — постоянные действительные числа $$ k^{2}+pk+q=0 \qquad (2) $$

характеристическое уравнение. Это квадратное уравнение – решаем его относительно k , его корни: $$ k_{1}=-\frac{p}{2}+\sqrt{ \frac{p^{2}}{4}-q } \\ k_{2}=-\frac{p}{2}-\sqrt{ \frac{p^{2}}{4}-q } $$

При этом возможны следующие случаи:

1. $k_{1}$ и $k_{2}$ — действительные и притом не равные между собой числа ($k_{1} \neq k_{2}$). Тогда общее решение имеет вид $$ y=C_{1}e^{k_{1}x}+C_{2}e^{k_{2}x} \qquad (3) $$
2. $k_{1}$ и $k_{2}$ — комплексные числа$$ k_{1}=\alpha+i\beta \;;\; k_{2}=\alpha-i\beta $$ где , $$ \alpha=-\frac{p}{2} \;;\; \beta=\sqrt{ \frac{p^{2}}{4}-q } $$ Общее решение имеет вид $$ y=C_{1}e^{dx} \cdot\cos{\beta x}+C_{2}e^{dx} \cdot\sin{\beta x} \qquad (4) $$
3. $k_{1}$ и $k_{2}$ — действительные равные числа ($k_{1} = k_{2}$). Общее решение имеет вид $$ y=C_{1}\cdot e^{k_{1}x}+C_{2}\cdot xe^{k_{1}x} \qquad (5) $$

Пример 1. $${y}''+{2y}'-y=0$$ Решение:

Пример 2.

Решить уравнение. Найти общее решение дифференциального уравнения $$ {3y}''-{2y}'-8y=0 $$

Решение. Характеристическое уравнение $$ 3k^{2}-2k-8=0 \\ k_{1,2}=\frac{2\pm 10}{6} \;;\; k_{1}=2 \;;\; k_{2}=-\frac{4}{3} $$ Общее решение $$ C_{1}e^{ k_{1}x } + C_{2}e^{ k_{2}x } = C_{1}e^{ 2x } + C_{2}e^{ \frac{4}{3} } $$

Пример 3. $${y}''+{6y}'+9y=0$$ Решение:

Пример 4.

Решить уравнение. Найти общее решение дифференциального уравнения $$ {4y}''-{8y}'-5y=0 $$

Решение $$ 4k^{2}-8k-5y=0 \\ k_{1,2}=\frac{ 8\pm\sqrt{64-80} }{8} =\frac{8\pm 4i}{8} =1\pm\frac{i}{2} \;;\; \alpha=1 \;;\; \beta=\frac{1}{2} \\ y=C_{1}e^{x}\cos{ \frac{x}{2} } +C_{2}e^{x}\sin{ \frac{x}{2} } $$

Пример 5. $${y}''+{4y}'+13y=0$$ Решение: