Дифференциальное уравнение вида $$M(x,y)dx +N(x,y)dy =0 \qquad (1)$$ называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции $u(x,y)$ т.е. $$ Mdx+Ndy\equiv du\equiv \frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy =0$$

Для того чтобы (1) являлось уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области D изменения переменных x и y выполнялось условие $$ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} \qquad (2) $$ , тогда общим решением дифференциального уравнения в полных дифференциалах будет $$ u(x,y)=C \qquad (3) $$

Или по другому – общий интеграл уравнения (1) имеет вид: $$ \int_{x_{0}}^{x} M(x,y)dy + \int_{y_{0}}^{y} N(x,y)dy =C $$

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение: $P{x,y}\;dx+Q(x,y)\;dy=0$

Решение дифференциального уравнения:

Пример 2.

Решить уравнение. Найти общее решение. $$ \frac{y}{x}dx+(y^{2}+\ln{x})dy=0 $$

Решение. Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах $$ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{d}{dy} \left ( \frac{y}{x} \right ) =\frac{1}{x} \\ \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x} (y^{2}+\ln{x})=\frac{1}{x} $$ , так что $ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} $

То данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах и $ M=\frac{du}{dx}=\frac{y}{{x}'} \;;\; N=\frac{\partial u}{\partial y}=y^{2}+\ln{x} $ , поэтому $ \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{y}{x} $ , проинтегрируем $ u=\int\frac{y}{x}dx=y\ln{x}+\varphi(y) $ где $\varphi(y)$ пока неопределённая функция.

Частная производная $\frac{\partial u}{\partial y}$ найденной функции $u(x,y)$ должна равняться $$ y^{2}=\ln{x} \\ \frac{du}{dy}=\ln{x}+{\varphi}'(y) \\ \ln{x}+{\varphi}'(y)=y^{2}+\ln{x} \\ {\varphi}'(y)=y^{2} \\ \int{\varphi}'(y)dy=\int y^{2}dy \\ \varphi(y)=\frac{y^{3}}{3} $$

Общий интеграл имеет вид: $y\ln{x}+\frac{y^{3}}{3}=C$