Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Дифференциальные уравнения (диффуры)
Теоретическая механика: статика, кинематика, динамика

Теория вероятностей и математическая статистика FIXME
Строительная механика для строительных специальностей FIXME
Матанализ. Дифференциальное и интегральное исчисление FIXME
economics


Решение дифференциальных уравнений:

Дифференциальные уравнения (основные понятия)
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
   • Решение задачи Коши (диффуры)
   • Общее решение дифференциального уравнения
Однородные дифференциальные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Интегрирующий множитель
   • Понижение порядка дифференциального уравнения
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
   • Линейное неоднородное дифференциальное уравнение
Геометрические и физические задачи


Контакты

subjects:diffury:геометрические_и_физические_задачи

Геометрические и физические задачи

  1. Чтобы решить геометрические задачи, надо построить чертеж, обозначить искомую кривую через y=y(x) ( если задача решается в прямоугольных координатах ) и выразить все упоминаемые в задаче величины через $x,y,{y}'$. Тогда данное в условии задачи соотношение превращается в дифференциальное уравнение, из которого можно найти искомую функцию y(x) .
  2. В физических задачах надо прежде всего решить, какую из величин взять за независимое переменное, а какую – за искомую функцию. Затем надо выразить, на сколько изменится искомая функция y , когда независимое переменное x получит приращение $\Delta x$ , т.е. выразить разность $y(x+\Delta x)-y(x)$ через величины, о которых говорится в задаче. Разделив эту разность на $\Delta x$ и перейдя к пределу при $\Delta x \rightarrow 0$ , получим дифференциальное уравнение, из которого можно найти искомую функцию.

Пример 1. Найти кривые, сумма длин нормали и поднормали есть величина постоянная, равная $\alpha$.

Решение: Длина поднормали равна $|y\;\;{y}'|$ , а длина нормали $ \left | y \;\; \sqrt{ 1+{y}'^{2} } \right | $ . Т.о, уравнение, которому должны удовлетворять искомые кривые, имеет вид: $$ \left | {yy}' \right | + \left | y\sqrt{1+{y}'^{2}} \right | = a $$

Разрешая его относительно ${y}'$ , находим ( учитывая оба возможных знака): $$ {y}'=\pm\frac{a^{2}-y^{2}}{2ay} \;;\; \frac{2ydy}{a^{2}-y^{2}}=\pm\frac{dx}{a} $$ , интегрируем: $$ \ln{| a^{2}-y^{2} |}=\pm\frac{x}{a}+\ln{C} \,,\, y^{2}=a^{2}-Ce^{ \pm\frac{x}{a} } $$

Условию задачи отвечают только С>0 : из уравнения семейства кривых находим: $$ |{yy}'|=\frac{a^{2}-y^{2}}{2a} \;;\; |y\sqrt{1+{y}'^{2}}|=\frac{a^{2}+y^{2}}{2a} $$ поэтому, чтобы выполнялось условие $$ |{yy}'| + |y\sqrt{1+{y}'^{2}}| =a $$ , нужно, чтобы $|a^2–y^2|=a^2–y^2$ , т.е. $y^2<a^2$, отсюда и следует, что С>0.


Пример 2. В комнате, где температура $20^{0}C$ , некоторое тело остыло за 20мин. от $100^{0}C$ до $60^{0}C$. Найти закон охлаждения тела, через сколько минут оно остынет до $30^{0}C$? Повышением температуры в комнате пренебречь.

Решение: В силу закона Ньютона ( скорость охлаждения пропорциональна разности температур ) можем написать: $$ \frac{\partial T}{\partial t}=k(T-20) \,,\, \frac{\partial T}{T-20}=k\partial t \,,\, \ln{(T-20)}=kt+\ln{C} $$ При $t=0 \,,\, T=100^{0}C$, находим C=80. При $t=20 \,,\, T=60^{0}$ $\ln{40}=20k+\ln{80} \,,\, k=-\frac{1}{20}\ln{2}$; итак $T-20 = 80e^{ -\frac{1}{20}t\ln{2} } = 80\left ( \frac{1}{2} \right )^{ \frac{t}{20} }$ , $T=20+80\left( \frac{1}{2} \right)^{ \frac{t}{20} }$, при $T=30^{0}$ t=60 мин.


Пример 3. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(0,1) , если известно, что в каждой точке нормаль к кривой отсекает на оси абсцисс отрезок, равный квадрату радиуса-вектора этой точки.

 Найти уравнение кривой, проходящей через точку А

Пусть точка М(х,у) – произвольная точка искомой кривой, МВ – нормаль к кривой в т.М, а В – точка пересечения нормали с осью абсцисс. Уравнение нормали к кривой в т.М имеет вид: $Y-y=-\frac{1}{{y}'}(X-x)\;;\; X,Y$ – текущие координаты нормали.

Найдем абсциссу т.В. Полагая в уравнении нормали Y=0, получаем – $y=-\frac{1}{{y}'}(X-x) \;;\; X=x+{yy}'$

Квадрат радиуса- вектора т.М равен $x^2+y^2$. По условию задачи $x+{yy}'=x^{2}+y^{2} \;;\; {y}'-y=(x^{2}-x)y^{-1}$ – это уравнение Бернулли при $\alpha=-1$ . Подстановкой $y=uv\;;\; {y}'={u}'v+{uv}'$ приводится к виду $$ {u}'v+{uv}'-uv=( x^{2}-x )\frac{1}{uv} \,,\, v( {u}'-u )+{uv}'=( x^{2}-x )\frac{1}{uv} \\ {u}'-u=0 \,,\, u=e^{x} \;;\; e^{x}{v}'=( x^{2}-x )\frac{1}{e^{x}v} \;;\; \\ v\partial v=( x^{2}-x )e^{-2x}\partial x \,,\, v^{2}=-x^{2}e^{-2x}+C \,,\, v=\pm\sqrt{ C-x^{2}e^{-2x} } \\ y=uv=\pm e^{x}\sqrt{ C-x^{2}e^{-2x} } \;;\; x^{2}+y^{2}=Ce^{2x} $$

Воспользовавшись начальным условием ( кривая проходит через точку А(0,1) ), найдем значение произвольной постоянной С=1. Т.о., уравнение $x^{2}+y^{2}=e^{2x}$ является уравнением искомой кривой.


Полный список тем по ДУ

subjects/diffury/геометрические_и_физические_задачи.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:31 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты