Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель


Дифференциальные уравнения (диффуры)
Теоретическая механика: статика, кинематика, динамика

Теория вероятностей и математическая статистика FIXME
Строительная механика для строительных специальностей FIXME
Матанализ. Дифференциальное и интегральное исчисление FIXME
economics


Решение дифференциальных уравнений:

Дифференциальные уравнения (основные понятия)
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
   • Решение задачи Коши (диффуры)
   • Общее решение дифференциального уравнения
Однородные дифференциальные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Интегрирующий множитель
   • Понижение порядка дифференциального уравнения
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
   • Линейное неоднородное дифференциальное уравнение
Геометрические и физические задачи


Контакты

subjects:diffury:дифференциальные_уравнения

Дифференциальные уравнения (основные понятия)

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции (или нескольких неизвестных функций). Вместо производных могут входить дифференциалы.

Если неизвестные функции зависят от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если от нескольких, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей из производных, входящих в это уравнение.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это дифференциальные уравнения для функции от одной переменной.

Общий вид дифференциального уравнения с одной неизвестной функцией таков:

$$F(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n)})=0 \qquad (1)$$

  • y(x) – неизвестная функция, зависящая от независимой переменной x (штрих означает дифференцирование по x).
  • Число n (порядок старшей производной, входящей в данное уравнение) – порядок дифференциального уравнения (1).

Дифференциальные уравнения в частных производных — дифференциальные уравнения, содержащие неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.

Интегрирование дифференциального уравнения

Основное задачей теории дифференциальных уравнений является поиск всех решений данного дифференциального уравнения. В простейших случаях эта задача сводится к вычислению интеграла, поэтому решение дифференциального уравнения называют также его интегралом, а процесс поиска всех решений – интегрированием дифференциального уравнения.

Вообще интегралом данного дифференциального уравнения называют всякое уравнение, не содержащее производных, из которых данное дифференциальное уравнение вытекает как следствие.

Пример решения дифференциального уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка: $${y}'' + y = 0 \qquad (2)$$

Одним из решенией (интегралом) этого дифференциального уравнения второго порядка, будет функция: $y = \sin{x}$

Поскольку после подстановки $y = \sin{x}$ , равенство (2) принимает вид: ${(\sin{x})}'' + \sin{x} = 0$, т.е. становится тождеством.

Функции $y = \frac{1}{2}\sin{x} \,,\,\, y = \cos{x} \,,\,\, y = 3\cos{x}$ – тоже решения уравнения (2), но функция $y=\sin{x}+\frac{1}{2}$ не является решением.

Основные понятия дифференциальных уравнений


Полный список тем по ДУ

subjects/diffury/дифференциальные_уравнения.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:24 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Купить Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты