Дифференциальное уравнение вида $$M(x,y)dx +N(x,y)dy =0 \qquad (1)$$ называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции $u(x,y)$ т.е. $$ Mdx+Ndy\equiv du\equiv \frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy =0$$
Для того чтобы (1
) являлось уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области D
изменения переменных x
и y
выполнялось условие
$$ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} \qquad (2) $$
, тогда общим решением дифференциального уравнения в полных дифференциалах будет
$$ u(x,y)=C \qquad (3) $$
Или по другому – общий интеграл уравнения (1) имеет вид: $$ \int_{x_{0}}^{x} M(x,y)dy + \int_{y_{0}}^{y} N(x,y)dy =C $$
Пример 1
Решить дифференциальное уравнение: $P{x,y}\;dx+Q(x,y)\;dy=0$
Решение дифференциального уравнения:
Пример 2.
Решить уравнение. Найти общее решение. $$ \frac{y}{x}dx+(y^{2}+\ln{x})dy=0 $$
Решение.
Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах
$$
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{d}{dy}
\left (
\frac{y}{x}
\right )
=\frac{1}{x}
\\
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}
(y^{2}+\ln{x})=\frac{1}{x}
$$
, так что
$ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} $
То данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах и $ M=\frac{du}{dx}=\frac{y}{{x}'} \;;\; N=\frac{\partial u}{\partial y}=y^{2}+\ln{x} $ , поэтому $ \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{y}{x} $ , проинтегрируем $ u=\int\frac{y}{x}dx=y\ln{x}+\varphi(y) $ где $\varphi(y)$ пока неопределённая функция.
Частная производная $\frac{\partial u}{\partial y}$ найденной функции $u(x,y)$ должна равняться $$ y^{2}=\ln{x} \\ \frac{du}{dy}=\ln{x}+{\varphi}'(y) \\ \ln{x}+{\varphi}'(y)=y^{2}+\ln{x} \\ {\varphi}'(y)=y^{2} \\ \int{\varphi}'(y)dy=\int y^{2}dy \\ \varphi(y)=\frac{y^{3}}{3} $$
Общий интеграл имеет вид: $y\ln{x}+\frac{y^{3}}{3}=C$