Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения 1-ого порядка имеют вид: $$F(x,\,y,\,{y}')=0$$

Если это уравнение можно разрешить относительно y то его можно записать в виде: $${y}'=f(x,\,y)$$

Если в уравнении ${y}'=f(x,\,y)$ функция f(x,y) и её частная производная $\frac{dx}{dy}$ по y непрерывны в некоторой области D на плоскости XOY содержащей некоторую точку $(x_0 ,\, y_0)$ , то существует единственное решение этого уравнения $y=\varphi(x)$ удовлетворяющее условию $y=y_0$ при $x=x_0$, которое называется начальным.

Общим решением дифференциального уравнения 1-ого порядка называется функция $y=\varphi(x, C)$ , которая зависит от одной производной const C и удовлетворяет следующим условиям:

1. она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конкретном значении const C;
2. каково бы ни было начальное условие $y=y_0$ при $x=x_0$ т.е. $y|_{x=x_0}=y_0$ можно найти такое значение $c=c_0$ , что функция $y=\varphi(x, C_0)$ удовлетворяет данному начальному условию (задача Коши).

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка таков: $$F(x,\,y,\,{y}')=0$$

Уравнение, разрешённое относительно ${y}'$ , имеет вид: $${y}'=f(x,\,y)$$

Предполагается, что функция f(x,y) однозначно определена и непрерывна в некоторой области; ищутся интегралы, принадлежащие этой области.