Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции (или нескольких неизвестных функций). Вместо производных могут входить дифференциалы.
Если неизвестные функции зависят от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если от нескольких, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей из производных, входящих в это уравнение.
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это дифференциальные уравнения для функции от одной переменной.
Общий вид дифференциального уравнения с одной неизвестной функцией таков:
$$F(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n)})=0 \qquad (1)$$
y(x) – неизвестная функция, зависящая от независимой переменной x (штрих означает дифференцирование по x). Число n (порядок старшей производной, входящей в данное уравнение) – порядок дифференциального уравнения (1).Дифференциальные уравнения в частных производных — дифференциальные уравнения, содержащие неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.
Основное задачей теории дифференциальных уравнений является поиск всех решений данного дифференциального уравнения. В простейших случаях эта задача сводится к вычислению интеграла, поэтому решение дифференциального уравнения называют также его интегралом, а процесс поиска всех решений – интегрированием дифференциального уравнения.
Вообще интегралом данного дифференциального уравнения называют всякое уравнение, не содержащее производных, из которых данное дифференциальное уравнение вытекает как следствие.
Дифференциальное уравнение второго порядка: $${y}'' + y = 0 \qquad (2)$$
Одним из решенией (интегралом) этого дифференциального уравнения второго порядка, будет функция: $y = \sin{x}$
Поскольку после подстановки $y = \sin{x}$ , равенство (2) принимает вид: ${(\sin{x})}'' + \sin{x} = 0$, т.е. становится тождеством.
Функции $y = \frac{1}{2}\sin{x} \,,\,\, y = \cos{x} \,,\,\, y = 3\cos{x}$ – тоже решения уравнения (2), но функция $y=\sin{x}+\frac{1}{2}$ не является решением.