y=y(x)
( если задача решается в прямоугольных координатах ) и выразить все упоминаемые в задаче величины через $x,y,{y}'$. Тогда данное в условии задачи соотношение превращается в дифференциальное уравнение, из которого можно найти искомую функцию y(x)
.y
, когда независимое переменное x
получит приращение $\Delta x$ , т.е. выразить разность $y(x+\Delta x)-y(x)$ через величины, о которых говорится в задаче. Разделив эту разность на $\Delta x$ и перейдя к пределу при $\Delta x \rightarrow 0$ , получим дифференциальное уравнение, из которого можно найти искомую функцию.Пример 1. Найти кривые, сумма длин нормали и поднормали есть величина постоянная, равная $\alpha$.
Решение:
Длина поднормали равна $|y\;\;{y}'|$ , а длина нормали $ \left | y \;\; \sqrt{ 1+{y}'^{2} } \right | $ . Т.о, уравнение, которому должны удовлетворять искомые кривые, имеет вид:
$$
\left | {yy}' \right |
+
\left | y\sqrt{1+{y}'^{2}} \right |
= a
$$
Разрешая его относительно ${y}'$ , находим ( учитывая оба возможных знака): $$ {y}'=\pm\frac{a^{2}-y^{2}}{2ay} \;;\; \frac{2ydy}{a^{2}-y^{2}}=\pm\frac{dx}{a} $$ , интегрируем: $$ \ln{| a^{2}-y^{2} |}=\pm\frac{x}{a}+\ln{C} \,,\, y^{2}=a^{2}-Ce^{ \pm\frac{x}{a} } $$
Условию задачи отвечают только С>0
: из уравнения семейства кривых находим:
$$
|{yy}'|=\frac{a^{2}-y^{2}}{2a}
\;;\;
|y\sqrt{1+{y}'^{2}}|=\frac{a^{2}+y^{2}}{2a}
$$
поэтому, чтобы выполнялось условие
$$
|{yy}'|
+
|y\sqrt{1+{y}'^{2}}|
=a
$$
, нужно, чтобы $|a^2–y^2|=a^2–y^2$ , т.е. $y^2<a^2$, отсюда и следует, что С>0
.
Пример 2. В комнате, где температура $20^{0}C$ , некоторое тело остыло за 20мин. от $100^{0}C$ до $60^{0}C$. Найти закон охлаждения тела, через сколько минут оно остынет до $30^{0}C$? Повышением температуры в комнате пренебречь.
Решение:
В силу закона Ньютона ( скорость охлаждения пропорциональна разности температур ) можем написать:
$$
\frac{\partial T}{\partial t}=k(T-20)
\,,\,
\frac{\partial T}{T-20}=k\partial t
\,,\,
\ln{(T-20)}=kt+\ln{C}
$$
При $t=0 \,,\, T=100^{0}C$, находим C=80
. При $t=20 \,,\, T=60^{0}$
$\ln{40}=20k+\ln{80} \,,\, k=-\frac{1}{20}\ln{2}$; итак $T-20 = 80e^{ -\frac{1}{20}t\ln{2} } = 80\left ( \frac{1}{2} \right )^{ \frac{t}{20} }$ , $T=20+80\left( \frac{1}{2} \right)^{ \frac{t}{20} }$, при $T=30^{0}$ t=60
мин.
Пример 3.
Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(0,1)
, если известно, что в каждой точке нормаль к кривой отсекает на оси абсцисс отрезок, равный квадрату радиуса-вектора этой точки.
Пусть точка М(х,у)
– произвольная точка искомой кривой, МВ
– нормаль к кривой в т.М
, а В
– точка пересечения нормали с осью абсцисс. Уравнение нормали к кривой в т.М
имеет вид:
$Y-y=-\frac{1}{{y}'}(X-x)\;;\; X,Y$ – текущие координаты нормали.
Найдем абсциссу т.В
. Полагая в уравнении нормали Y=0
, получаем – $y=-\frac{1}{{y}'}(X-x) \;;\; X=x+{yy}'$
Квадрат радиуса- вектора т.М
равен $x^2+y^2$. По условию задачи
$x+{yy}'=x^{2}+y^{2} \;;\; {y}'-y=(x^{2}-x)y^{-1}$
– это уравнение Бернулли при $\alpha=-1$ . Подстановкой
$y=uv\;;\; {y}'={u}'v+{uv}'$
приводится к виду
$$
{u}'v+{uv}'-uv=( x^{2}-x )\frac{1}{uv}
\,,\,
v( {u}'-u )+{uv}'=( x^{2}-x )\frac{1}{uv}
\\
{u}'-u=0
\,,\,
u=e^{x}
\;;\;
e^{x}{v}'=( x^{2}-x )\frac{1}{e^{x}v}
\;;\; \\
v\partial v=( x^{2}-x )e^{-2x}\partial x
\,,\,
v^{2}=-x^{2}e^{-2x}+C
\,,\,
v=\pm\sqrt{ C-x^{2}e^{-2x} }
\\
y=uv=\pm e^{x}\sqrt{ C-x^{2}e^{-2x} }
\;;\;
x^{2}+y^{2}=Ce^{2x}
$$
Воспользовавшись начальным условием ( кривая проходит через точку А(0,1)
), найдем значение произвольной постоянной С=1
. Т.о., уравнение
$x^{2}+y^{2}=e^{2x}$
является уравнением искомой кривой.