Уравнения вида $\varphi_1(x)\Psi_1(y)dx=\varphi_2(x)\Psi_2(y)dy$ , в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от X и только от Y называется уравнением с разделяющими переменными. Путём деления на произведение $\varphi_1(y)\varphi_2(x)$ оно приводится к уравнению с разделёнными переменными:
$$ \frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}dx = \frac{\Psi_2(y)}{\Psi_1(y)}dy $$
Общий интеграл этого уравнения имеет вид:
$$ \int \frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}dx = \int \frac{\Psi_2(y)}{\Psi_1(y)}dy = C $$
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения: ${xy}'-y=1$
Решение дифференциального уравнения:
Пример 2. Найти частное решение уравнения $(1+e^{x})y{y}'=e^{x}$, удовлетворяющее начальному условию $y|_{x=0}=1$ (задача Коши)
Решение. Имеем $(1+e^{x})y\frac{dy}{dx}=e^{x}$
Разделяя переменные, получаем: $$ y\;dy = \frac{e^{x}}{1+e^{x}}dx $$
Интегрируя, найдём общий интеграл: $$ \int y\;dy = \int \frac{e^{x}}{1+e^{x}}dx \\ \frac{y^{2}}{2}=\ln{(1+e^{x})} +C \qquad (1) $$
(1) – общее решение дифференциального уравнения
Полагая X=0 и Y=1, будем иметь $\frac{1}{2}=\ln{2}+C$ , откуда $C=\frac{1}{2} -\ln{2}$
Подставляя в (1) найденное значение C, получаем частное (решение задачи Коши)
$$
y^{2} =
1 +\ln{\left ( \frac{1+e^{x}}{2} \right )^{2}}
\;;
\\
y=
\pm\sqrt{
1 +\ln{\left ( \frac{1+e^{x}}{2} \right )^{2}}
}
$$
Из начального $u=\frac{y}{x}$ условия следует, что $y>0 ( y|_{x=0}=1 >0)$ поэтому перед корнем берём знак плюс. Итак, искомое частное решение
$$
y=\sqrt{
1 +\ln{\left ( \frac{1+e^{x}}{2} \right )^{2}}
}
$$
Пример 3.
Решение дифференциального уравнения:
Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения: $$ \frac{dy}{dx}=x^{3} $$
Решение дифференциального уравнения:
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения: $$ \frac{dy}{dx}=2\frac{y}{x} $$
Решение дифференциального уравнения:
Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения: $$ \frac{dy}{dx}=-xy $$
Решение дифференциального уравнения:
Пример 7. $$ {y}'={\rm tg}\,x\cdot{\rm tg}\,y $$
Решение:
Пример 8.
Решение дифференциального уравнения: