Рассмотрим уравнения вида $$ \frac{dy}{dx} = f \left ( \frac{ax+by+c}{a{_1}x+b{_1}y+c{_1}} \right ) $$
$a,b,c,a{_1},b{_1},c{_1}$ — постоянные
Если $c=c{_1}=0$ , то уравнение является однородным. Если хотя бы одно из чисел $c,c{_1}$ отлично от нуля, то следует различать два случая.
$$ 1) \qquad \Delta = \begin{vmatrix} ab \\ a_{1}b_{1} \end{vmatrix} \neq 0 $$
Вводя новые переменные $\xi$ и $\eta$ по формулам $x=\xi + h \,,\, y = \eta +k$ ( Здесь
$\xi \text{ и } \eta$ – новые переменные, а h и k – константы.
$dy=d\eta \;;\; dx=d\xi$ , следовательно
$\frac{dy}{dx}=\frac{d\eta}{d\xi}$ ) , приведем уравнение к виду:
$$
\frac{d\eta}{d\xi}
= f \left (
\frac{
a\xi+b\eta+ah+bk+c
}{
a_{1}\xi+b_{1}\eta+a_{1}h+b_{1}k+c_{1}
}
\right )
$$
Выбирая h
и k
как решение системы линейных уравнений
$$
\left\{\begin{matrix}
ah+bk+c=0
\\
a_{1}h+b_{1}k+c_{1}=0
\end{matrix}\right.
$$
получаем однородное уравнение $$ \frac{d\eta}{d\xi} = f \left ( \frac{ a\xi+b\eta }{ a_{1}\xi+b_{1}\eta } \right ) $$ найдя его общий интеграл и заменив $\xi=x-h \,,\, \eta=y-k$ , получаем общий интеграл уравнения.
$$ 2) \qquad \Delta = \begin{vmatrix} ab \\ a_{1}b_{1} \end{vmatrix} = 0 $$ и уравнение имеет вид $$ \frac{dy}{dx} = f \left ( \frac{ ax+by+c }{ k(ax+by+c{_1}) } \right ) $$ , где k – константа.
Подстановка $z=ax+by$ приводит его к уравнению с разделяющими переменными.
Пример 1. Решить уравнение $(x+y+1)dx +(2x+2y-1)dy=0$ . Найти общее решение дифференциального уравнения.
Решение.
Система линейных алгебраических уравнений
$$
\left\{\begin{matrix}
x+y+1=0
\\
2x+2y-1=0
\end{matrix}\right.
$$
несовместна. В том случае метод, применённый в предыдущем примере, не подходит. Для интегрирования уравнения применяем подстановку
$ x+y=z \,\Rightarrow\, y=z-x \,\Rightarrow\, dy=dz-dx $
. Уравнение примет вид
$ (2-z)dx +(2x-1)dz =0 $
Разделяя, переменные получаем $$ dx-\frac{2z-1}{z-2} =0 \\ x-2z-3\ln{|z-2|} =C \\ x+2y+\ln{|x+y-2|}=C $$