Задача Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).
Что бы решить задачу Коши – нужно получить общее решение дифференциального уравнения в которое входят произвольные постоянные, количество которых зависит от порядка дифференциального уравнения и численно равно этому порядку. Собственно, решение задачи Коши и отличается от нахождения общего решения дифференциального уравнения тем, что, используя общее решение с учётом начальных условий находят эти произвольные константы, входящие в общее решение.
От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.
Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение y=f(x) и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки $(x_0,y_0)$ имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений y=f(x). Точка $(x_0,y_0)$ задаёт начальные условия.
ОДУ первого порядка, разрешённое относительно производной $$ \left\{\begin{array}{lcl} {y}' &=& f(x,y) &\qquad (1) \\ y(x_0) &=& y_0 &\qquad (2) \end{array}\right. $$
Решением задачи Коши является функция, определённая на интервале <a,b>, включающем $x_0$, являющаяся решением уравнения (1) и удовлетворяющая начальному условию (2).
Лемма. Функция $y=\phi(x)$ является решением задачи Коши тогда и только тогда, когда она является решением интегрального уравнения.
Пример 1.
Решение дифференциального уравнения:
Пример 2 $$ y\cdot {y}'-x=0 \;;\; y(0)=4 $$
Решение: