Функция f(x,y)
называется однородной функцией своих аргументов измерения n
, если справедливо тождество
$$ f(tx,ty)=t^{n}f(x,y) $$
При n=0
имеем функцию нулевого измерения.
Дифференциальное уравнение вида ${y}'=\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ называется однородным относительно x
и y
, если f(x,y)
есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения.
Однородное уравнение всегда можно представить в виде $\frac{dy}{dx}=\varphi\left (\frac{y}{x} \right )$
Вводим новую переменную $u=\frac{y}{x}$ , тогда $y=u\cdot x \;;\; \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}\cdot x+u\cdot 1$
В результате, получаем уравнение с разделяющимися переменными $$ x\frac{du}{dx} = \varphi(u)-u $$
Пример 1
Найти общее решение дифференциального уравнения: ${xy}'=x+2y$
Решение дифференциального уравнения:
Пример 2. Решить уравнение (найти общее решение дифференциального уравнения) $$ {xy}' = \sqrt{x^{2} - y^{2}} + y $$
Решение.
Запишем уравнение в виде
$$ {y}' = \sqrt{ 1 - \left ( \frac{y}{x} \right )^{2} } + \frac{y}{x} $$
так что данное уравнение оказывается однородным относительно x
и y
.
Положим $u=\frac{y}{x}$ или $y=u\cdot x$ , тогда ${y}' = {xu}' +u$ . Подставляя в уравнение выражение для $y$ и ${y}'$ , получаем $$ x\frac{du}{dx} = \sqrt{1-u^{2}} $$
Разделяем переменные: $$ \frac{du}{ \sqrt{1-u^{2}} } = \frac{dx}{x} ;\;\; \int \frac{du}{ \sqrt{1-u^{2}} } = \int \frac{dx}{x} \\ \arcsin{u} = \ln{|x|} + \ln{C_1} ;\;\; \arcsin{u} = \ln{C_{1}|x|} $$
, т.к. $C_{1}|x| = \pm C_{1}x$ , то, обозначая $\pm C_{1} = C$ , получаем $\arcsin{u} = \ln{Cx}$ Заменяя $u$ на $\frac{y}{x}$ , будем иметь общий интеграл $\arcsin{\frac{y}{x}} = \ln{Cx} ,\;\; y = x\sin{\ln{Cx}}$
Пример 3 $$(x^{2}+2xy)\;dx+xy\;dy=0$$
Решение: