Линейным дифференциальным уравнением 1-ого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной $$ \frac{dy}{dx} +p(x)y =Q(x) \qquad (1)$$
Решение линейного уравнения ищем в виде $y=u(x)v(x)$
Подставляя в (1), после преобразования получаем $$ u \left ( \frac{dv}{dx} + p(x)v \right ) +V\frac{du}{dx} =Q(x) $$
Выберем v такой чтобы $\frac{dv}{dx} + p(x)v =0$ найдём u(x) , и следовательно получим решение $y=uv$
Пример 1
Решить дифференциальное уравнение: ${xy}'-2y=4x^{4}-x$
Решение дифференциального уравнения:
Пример 2. Решить задачу Коши $$ {y}'-y=-e^{-x} \,,\, y|_{x=0}=2 $$
Решение. Это линейное уравнение. Ищем общее решение в виде $y=u(x)v(x)$ , имеем ${y}'={u}'v+u{v}'$ . Подставляя выражения для y и ${y}'$ в данное уравнение, будем иметь
$$
u({v}'-v)+{u}'v=-e^{-x}
\\
u \left (
\frac{dv}{dx} -v
\right )
+\frac{du}{dx}v
=e^{-x}
\\
\frac{dv}{dx}-v=0
\;;\;
\frac{dv}{v}=dx
\;;\;
\ln{|v|}=x
\;;\;
v=e^{x}
$$
Для определения u имеем уравнение
$$
{u}'v=-e^{-x}
\\
\frac{du}{dx}e^{x}=-e^{-x}
\;;\;
\frac{du}{dx}=-e^{-2x}
\;;\;
u=\frac{ e^{-2x} }{2} +c
\\
y=uv=e^{x} \left(
\frac{ e^{-2x} }{2} +c
\right )
=\frac{ e^{-x} }{2} +Ce^{x}
$$
Найдём C: $2=\frac{1}{2}+c \,,\, c=\frac{3}{2}$;
Итак, решением поставленной задачи Коши будет $$ y=\frac{1}{2} \left ( \frac{1}{e^{x}} +3e^{x} \right ) $$