Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-ого порядка $$ {y}''+{py}'+qy=0 \qquad (1) $$
p, q
— постоянные действительные числа
$$ k^{2}+pk+q=0 \qquad (2) $$
характеристическое уравнение. Это квадратное уравнение – решаем его относительно k , его корни: $$ k_{1}=-\frac{p}{2}+\sqrt{ \frac{p^{2}}{4}-q } \\ k_{2}=-\frac{p}{2}-\sqrt{ \frac{p^{2}}{4}-q } $$
При этом возможны следующие случаи:
Пример 1.
$${y}''+{2y}'-y=0$$
Решение:
Пример 2.
Решить уравнение. Найти общее решение дифференциального уравнения $$ {3y}''-{2y}'-8y=0 $$
Решение.
Характеристическое уравнение
$$
3k^{2}-2k-8=0
\\
k_{1,2}=\frac{2\pm 10}{6}
\;;\;
k_{1}=2
\;;\;
k_{2}=-\frac{4}{3}
$$
Общее решение
$$
C_{1}e^{ k_{1}x }
+
C_{2}e^{ k_{2}x }
=
C_{1}e^{ 2x }
+
C_{2}e^{ \frac{4}{3} }
$$
Пример 3.
$${y}''+{6y}'+9y=0$$
Решение:
Пример 4.
Решить уравнение. Найти общее решение дифференциального уравнения $$ {4y}''-{8y}'-5y=0 $$
Решение
$$
4k^{2}-8k-5y=0
\\
k_{1,2}=\frac{
8\pm\sqrt{64-80}
}{8}
=\frac{8\pm 4i}{8}
=1\pm\frac{i}{2}
\;;\;
\alpha=1 \;;\; \beta=\frac{1}{2}
\\
y=C_{1}e^{x}\cos{ \frac{x}{2} }
+C_{2}e^{x}\sin{ \frac{x}{2} }
$$
Пример 5.
$${y}''+{4y}'+13y=0$$
Решение: