Уравнение Бернулли имеет вид $$\frac{dy}{dx}+p(x)\cdot y=Q(x)\cdot y^{n} \qquad (1)$$ , где $n \neq 0$ .
С помощью замены переменной $$z=\frac{1}{ y^{n-1} } \qquad (2)$$ уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное.
Пример 1. Решить уравнение ${3y}'+y=\frac{1}{y^{2}}$
Решение. Умножим обе части уравнения на $y^{2}$ , т.е. на $y^{-n}$ см.формулу (1)
$$ 3y^{2}{y}'+y^{3}=1 $$
Положим $y^{3}=z$ , тогда $3y^{2}{y}'=\frac{dz}{dx}$ см.формулу (2) и подставим в уравнение
$$
\frac{dz}{dx}+z=1
\\
z=uv
\;;\;
\frac{dz}{dx}=u \frac{dv}{dx}+v \frac{du}{dx}
\\
u \left (
\frac{dv}{dx} +v
\right )
+v \frac{du}{dx}=1
\;;\;
\frac{dv}{dx}+v=0
\;;\;
\ln{v}=-x
\;;\;
v=e^{-x}
\\
e^{-x}\frac{du}{dx}=1
\;;\;
du=e^{x}dx
\;;\;
u=e^{x}+C
\\
z=uv=e^{-x}(e^{x}+C)=1+Ce^{-x}
\\
y^{3}=1+Ce^{-x}
$$