Понижение порядка дифференциального уравнения

Аналогично интегрирующему множителю – можно проинтегрировать уравнение $$ y^{n}=f(x,y^{(n-1)}) $$ , где (n-1) – порядок производной функции y.

Например: Уравнение вида $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} =f \left ( y, \frac{dy}{dx} \right ) \qquad (2) $$ не содержит явным образом независимой переменной x.

Для его решения снова положим $$ \frac{dy}{dx}=p \qquad (3) $$ но теперь будем считать p функцией от y (а не от x, как прежде). Тогда $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} =\frac{dp}{dx} =\frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} =\frac{dp}{dy} \cdot p $$

Подставляя выражение $\frac{dy}{dp}$ и $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ в уравнение (2), получим уравнение 1-ого порядка $p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$

Интегрируя его, найдём p , как функцию y и производной постоянной $C_{1}$ :

Подставляя это значение в соотношение (3), получим $$ \frac{dy}{dx}=p(y,C_{1}) \\ \frac{dy}{p(y,C_{1})}=dx $$

Интегрируя это уравнение, получим общий интеграл исходного уравнения $$ \Phi(x,y,C_{1},C_{2}=0 $$

Пример 1

Найти общий интеграл уравнения: $F(x,{y}',{y}'')=0$

Решение:

Пример 2

Найти общий интеграл уравнения: $F(y,{y}',{y}'')=0$

Решение:

Пример 3

1. Найти общее решение дифференциального уравнения: $$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=2y^{3}$$
2. Найти частное решение, которое удовлетворяет начальному условию: $$\left\{\begin{matrix} y(0)=1 \\ {y}'(0)=1 \end{matrix}\right.$$

Решение:

Пример 4.

Найти общий интеграл уравнения $$ x\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dy}{dx} $$

Решение. Пусть $\frac{dy}{dx}=p$ , тогда $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dp}{dx}$ $$ x\frac{dp}{dx}=p \\ \frac{dp}{p}=\frac{dx}{x} \\ \ln{|p|}=\ln{|x|}+\ln{|C_{1}|} \\ p=C_{1}x $$

Возвратимся к переменной y: ${y}'=C_{1}x$ $$ y= \int C_{1}xdx= C_{1}\frac{x^{2}}{2}+C_{2} $$